Feladat: B.3899 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási Gábor András ,  Csorba János ,  Dombi Soma ,  Győrffy Lajos ,  Honner Balázs ,  Horváth Vanda ,  Károlyi Gergely ,  Károlyi Márton ,  Kovács 111 Péter ,  Kutas Péter ,  Mercz Béla ,  Mészáros Gábor ,  Milotai Zoltán ,  Móri Bálint ,  Müller Márk ,  Nagy János ,  Pásztor Attila ,  Peregi Tamás ,  Pesti Veronika ,  Pirkó Dániel ,  Sárkány Lőrinc ,  Sommer Dániel ,  Sümegi Károly ,  Szalóki Dávid ,  Szilágyi Csaba ,  Szirmai Péter ,  Szudi László ,  Tomon István ,  Tossenberger Anna ,  Udvari Balázs ,  Varga László ,  Zieger Milán 
Füzet: 2006/november, 484. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Négyzetszámok összege, Természetes számok, Köbszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/március: B.3899

Lehet-e négy egymást követő pozitív egész szám szorzata köbszám?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az egymást követő n, n+1, n+2, n+3 pozitív egészek szorzata köbszám. Mivel 1234=24 nem köbszám, n2. A szorzat prímtényezős alakjában mindegyik prím kitevője 3-mal osztható. Legyen p egy ilyen prímszám, ekkor a négy szám valamelyike osztható p-vel. Ha p>3, akkor a négy közül csak egyetlen szám lehet p-vel osztható, ellenkező esetben p osztaná a két szám különbségét, ami legfeljebb 3. Így a négy szám bármelyikének prímtényezős alakjában a 3-nál nagyobb prímek kitevője 3-mal osztható. Speciálisan, ha a számok valamelyike sem 2-vel, sem 3-mal nem osztható, akkor maga is köbszám. Ilyen pedig biztosan létezik, hiszen a négy, egymást követő szám közül kettő páratlan, és ‐ különbségük 2 lévén ‐ legalább az egyikük nem osztható 3-mal. Ebből következik, hogy a négy szám szorzatát e köbszámmal elosztva a további három szám szorzataként is köbszámot kapunk. Legyen ez a három szám a, b és c, ekkor könnyen ellenőrizhető, hogy n3<n(n+1)(n+2)abc(n+1)(n+2)(n+3)<(n+2)3. Ez azt jelenti, hogy abc csak úgy lehet köbszám, ha abc=(n+1)3. Azonban ‐ minden n2 egészre ‐

n(n+1)(n+2)(n+1)3=n2+2nn2+2n+1<1,n(n+1)(n+3)(n+1)3=n2+3nn2+2n+1>1,(n+1)(n+2)(n+3)(n+1)3>1,n(n+2)(n+3)(n+1)3=n3+5n2+6nn3+3n2+3n+1>1,
azaz abc szóba jövő értékei közül három nagyobb, egy pedig kisebb, mint (n+1)3. Tehát négy egymást követő pozitív egész szám szorzata nem lehet köbszám.