Megoldás. Tegyük fel, hogy az egymást követő $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$ pozitív egészek szorzata köbszám. Mivel $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$ nem köbszám, $n\ge 2$. A szorzat prímtényezős alakjában mindegyik prím kitevője 3-mal osztható. Legyen $p$ egy ilyen prímszám, ekkor a négy szám valamelyike osztható $p$-vel. Ha $p>3$, akkor a négy közül csak egyetlen szám lehet $p$-vel osztható, ellenkező esetben $p$ osztaná a két szám különbségét, ami legfeljebb 3. Így a négy szám bármelyikének prímtényezős alakjában a 3-nál nagyobb prímek kitevője 3-mal osztható. Speciálisan, ha a számok valamelyike sem 2-vel, sem 3-mal nem osztható, akkor maga is köbszám. Ilyen pedig biztosan létezik, hiszen a négy, egymást követő szám közül kettő páratlan, és ‐ különbségük 2 lévén ‐ legalább az egyikük nem osztható 3-mal. Ebből következik, hogy a négy szám szorzatát e köbszámmal elosztva a további három szám szorzataként is köbszámot kapunk. Legyen ez a három szám $a$, $b$ és $c$, ekkor könnyen ellenőrizhető, hogy $n^3<n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\le abc\le \left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)<{\left(n+2\right)}^3$. Ez azt jelenti, hogy $abc$ csak úgy lehet köbszám, ha $abc={\left(n+1\right)}^3$. Azonban ‐ minden $n\ge 2$ egészre ‐