Feladat: 3965. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Vécsi Áron 
Füzet: 2007/december, 566 - 567. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb gördülés (Gördülés), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/március: 3965. fizika feladat

R sugarú, rögzített, érdes félgömb tetejéről kezdősebesség nélkül legördül egy r sugarú, m tömegű golyó. Hol csúszik meg és mekkora a megcsúszás pillanatában a súrlódási erő, ha R=1 m, r=0,1 m, m=15 kg, a tapadó súrlódás együtthatója μ=μ0=0,2?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a félgömb középpontját a golyó középpontjával összekötő egyenes és a függőleges hajlásszöge α (lásd az ábrát)! A golyó tömegközéppontjának sebességét v-vel, érintő irányú gyorsulását a-val, a felületek közötti nyomóerőt pedig N-nel jelöljük.

 
 

A golyó megcsúszásának pillanatában a súrlódási erő S=μN, így a mozgásegyenletek:
mgsinα-μN=ma,(1)mv2R+r=mgcosα-N.(2)


A forgómozgásra vonatkozó mozgásegyenlet:
Θar=μNr,(3)
ahol Θ=25mr2 a homogén tömegeloszlású golyó tehetetlenségi nyomatéka.
 
Megjegyzés. A (3) egyenlet felírásánál felhasználtuk, hogy a golyó a megcsúszás pillanatáig tisztán gördül, vagyis a golyó félgömbbel érintkező pontjának pillanatnyi sebessége nulla: v-rω=0, ahol ω a golyó szögsebessége. Innen kapjuk, hogy ω=vr, a golyó szöggyorsulása pedig ar nagyságú.
 

Tudjuk továbbá, hogy a megcsúszás pillanatáig a golyó mechanikai energiája megmarad:
12mv2+12Θ(vr)2=mg(R+r)(1-cosα).(4)
Az (1) és (3) egyenletekből
a=57gsinα,
(2)-ből és (4)-ből pedig
N=mg(177cosα-107).
Ezeket (3)-ba helyettesítve a megcsúszás helyzetét jellemző α szög és a súrlódási együttható között az alábbi összefüggést kapjuk: 2sinα=17μcosα-10μ. Négyzetre emelés után cosα-ra másodfokú egyenlet adódik:
(289μ2+4)cos2α-340μ2cosα+(100μ2-4)=0,
melynek számunkra érdekes (a kisebb α szöghöz tartozó) megoldása a megadott súrlódási együtthatóval számolva: cosα0,87, azaz α29.
A súrlódási erő a megcsúszás pillanatában:
S=μN=μmg(177cosα-107)20,4N.  

 
Megjegyzés. Érdekes, hogy a megcsúszás szöge csak a súrlódási együtthatótól függ, a golyó és a félgömb méretarányától nem!