Kezdőlap


Feladat:	3965. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vécsi Áron
Füzet:	2007/december, 566 - 567. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb gördülés (Gördülés), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/március: 3965. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a félgömb középpontját a golyó középpontjával összekötő egyenes és a függőleges hajlásszöge $α$ (lásd az ábrát)! A golyó tömegközéppontjának sebességét $v$ -vel, érintő irányú gyorsulását $a$ -val, a felületek közötti nyomóerőt pedig $N$ -nel jelöljük.

A golyó megcsúszásának pillanatában a súrlódási erő

S = μ N

, így a mozgásegyenletek:

\begin{matrix} m g sin α - μ N = m a, & (1) \\ m \frac{v^{2}}{R + r} = m g cos α - N . & (2) \end{matrix}

A forgómozgásra vonatkozó mozgásegyenlet:

\begin{matrix} Θ \frac{a}{r} = μ N r, \end{matrix}

(3)

ahol

Θ = \frac{2}{5} m r^{2}

a homogén tömegeloszlású golyó tehetetlenségi nyomatéka.

Megjegyzés. A (3) egyenlet felírásánál felhasználtuk, hogy a golyó a megcsúszás pillanatáig tisztán gördül, vagyis a golyó félgömbbel érintkező pontjának pillanatnyi sebessége nulla:

v - r ω = 0

, ahol

ω

a golyó szögsebessége. Innen kapjuk, hogy

ω = \frac{v}{r}

, a golyó szöggyorsulása pedig

\frac{a}{r}

nagyságú.

Tudjuk továbbá, hogy a megcsúszás pillanatáig a golyó mechanikai energiája megmarad:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} Θ {(\frac{v}{r})}^{2} = m g (R + r) (1 - cos α) . \end{matrix}

(4)

Az (1) és (3) egyenletekből

\begin{matrix} a = \frac{5}{7} g sin α, \end{matrix}

(2)-ből és (4)-ből pedig

\begin{matrix} N = m g (\frac{17}{7} cos α - \frac{10}{7}) . \end{matrix}

Ezeket (3)-ba helyettesítve a megcsúszás helyzetét jellemző

α

szög és a súrlódási együttható között az alábbi összefüggést kapjuk:

2 sin α = 17 μ cos α - 10 μ

. Négyzetre emelés után

cos α

-ra másodfokú egyenlet adódik:

\begin{matrix} (289 μ^{2} + 4) cos^{2} α - 340 μ^{2} cos α + (100 μ^{2} - 4) = 0, \end{matrix}

melynek számunkra érdekes (a kisebb

α

szöghöz tartozó) megoldása a megadott súrlódási együtthatóval számolva:

cos α \approx 0, 87

, azaz

α \approx 29^{\circ}

.
A súrlódási erő a megcsúszás pillanatában:

\begin{matrix} S = μ N = μ m g (\frac{17}{7} cos α - \frac{10}{7}) \approx 20, 4 N. \end{matrix}

Megjegyzés. Érdekes, hogy a megcsúszás szöge csak a súrlódási együtthatótól függ, a golyó és a félgömb méretarányától nem!