Feladat: 3959. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Almási Gábor ,  Demeter Dániel ,  Hlatky Dávid ,  Horváth Bence ,  Lovas Lia Izabella ,  Pósa László ,  Szolnoki Lénárd ,  Szudi László ,  Tűri Balázs 
Füzet: 2007/december, 564 - 565. oldal  PDF file
Témakör(ök): A Nap részecskesugárzása (Napszél), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/február: 3959. fizika feladat

Becsüljük meg, hogy a Nap P=3,81026W sugárzási teljesítménye miatt 100 év alatt mennyire távolodna el tőle a Föld!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük a Föld pályáját ‐ az egyszerűség kedvéért ‐ körpályának; ez nem áll távol a tényleges helyzettől, hiszen a Földpálya lapultsága (excentricitása) viszonylag kicsi.
A körmozgáshoz szükséges centripetális erőt lényegében a gravitációs erő biztosítja. A gravitációs erőhöz járul még a hozzá képest igen kicsiny sugárnyomásból (az elnyelődő fotonok és egyéb részecskék impulzusátadásából) származó erő. Ez azonban önmagában nem okozhatja a Nap-Föld távolság megváltozását, hiszen a gravitációhoz hasonlóan a távolság négyzetével fordítottan arányos, emiatt a hatását úgy vehetjük figyelembe, hogy a gravitációs állandó ,,igazi'' értéke helyére egy kicsit kisebb számot írunk. Ez a változtatás csupán a keringési idő kiszámításánál mutatja meg a hatását, a pályasugár változását nem magyarázhatja. A feltételezett távolság-változás okát máshol kell keresnünk!
A Nap a sugárzási teljesítménynek megfelelően t=100 év alatt ΔE=Pt=1,21036J energiát veszít, ami az Einstein-féle ΔE=ΔMc2 képletnek megfelelően

ΔM=Ptc2=1,31019kg  (1)
tömegcsökkenésnek felel meg. Ez a változás a Nap összes tömegéhez képest nagyon kicsi, emiatt azt várjuk, hogy a Föld a nagyon lassan csökkenő tömegű Nap körül mindvégig (jó közelítéssel) körpályán fog mozogni, azonban a pálya R sugara lassan megváltozik, megnő.
A lassú változás során a Föld perdülete mindvégig ugyanakkora marad, hiszen a Nap centrális vonzóereje nem fejt ki forgatónyomatékot a Földre:
R2ω=állandó.(2)
A gravitációs törvényt is felírhatjuk a lassan változó sugarú körmozgás bármelyik keringésére:
γMR2=Rω2,
azaz
R3ω2M=állandó.(3)
A (2) összefüggésből kifejezhetjük a szögsebességét és azt (3)-ba helyettesíthetjük:
RM=állandó.(4)
Alkalmazzuk ezt az összefüggést a Föld jelenlegi és 100 évvel későbbi állapotára! Ha R0-lal jelöljük a Föld jelenlegi pályasugarát, M0-lal a Nap jelenlegi tömegét, x-szel pedig a pályasugár változását, felírhatjuk: R0M0=(R0+x)(M0-ΔM), ahonnan az adatok behelyettesítése után x1m adódik.
A Föld tehát 100 év alatt ‐ az említett effektus következtében ‐ várhatóan 1 méternyit távolodik el a Naptól. (Emellett természetesen még számos más hatást is figyelembe kellene vennünk, ha a tényleges eltávolodást akarnánk pontosan meghatározni!)