Feladat: B.3944 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kiss Réka 
Füzet: 2007/december, 534 - 535. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenesek egyenlete, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/november: B.3944

Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat az (x;y) valós számpárokat, amelyekre
xy+1x+yyx+1y+x.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Rendezzük át az egyenlőtlenséget, hozzunk közös nevezőre és alakítsunk szorzattá:

xy-yx+1x-1y+y-x0,x2-y2+y-x+xy2-x2yxy0,(x-y)(x+y-1-xy)xy0,(x-y)(x-1)(1-y)xy0.


A tört számlálójában és nevezőjében összesen 5 tényező van, értéke pontosan akkor lesz nemnegatív, ha ezek között 0, 2 vagy 4, vagyis páros sok negatív van; vagy a számláló valamelyik tényezője 0.
Ha a koordinátarendszerben ábrázoljuk az Ax+By+C=0 egyenletű egyenest, akkor ez a síkot két félsíkra bontja, az egyik félsík pontjaira Ax+By+C>0, a másik pontjaira pedig Ax+By+C<0. Ezért esetünkben ábrázolni kell az egyeneseket, melyeknek egyenlete: y=x, x=1, y=1, x=0, y=0.
 
 

Ezek az egyenesek a síkot az ábrán látható módon 12 részre osztják. Megvizsgálva az egyes részeket, besatíroztuk azokat, amelyekre teljesül az egyenlőtlenség. Az x=0 és y=0 egyenesek nem tartoznak a jó halmazba, mert a nevező nem lehet 0; de az y=x, x=1, y=1 egyenesek hozzátartoznak, mert a számláló lehet 0.
A szomszédos síkrészek váltakozva jók vagy rosszak, mert egy egyenes egyik oldaláról a másik oldalára lépve, pontosan egy tényező előjele változik meg.
 
Megjegyzés. Sokan megfeledkeztek arról, hogy xy0, ők legfeljebb 2 pontot kaptak. Voltak, akik xy előjelének vizsgálata nélkül megszorozták az egyenlőtlenség mindkét oldalát xy-nal, ők legfeljebb 1 pontot kaphattak.