Feladat: C.864 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ancza Fruzsina ,  Fridrik József Richárd 
Füzet: 2007/december, 524 - 525. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Műveletek helyvektorok koordinátáival, Vektorok skaláris szorzata, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/szeptember: C.864

Egy ,,kockás lapra'' rajzolt háromszög oldalainak hossza: 210, 35 és 5. Bizonyítsuk be, hogy legkisebb szöge 45-os.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Helyezzük el a háromszöget derékszögű koordinátarendszerben: legyen A(6;2), B(3;6), C(0;0), ekkor valóban

AC¯=62+22=2106,32,AB¯=32+42=5,BC¯=32+62=356,71.
Mivel BC¯>AC¯>AB¯, az AB¯-vel szemközt van a legkisebb szög, ez legyen α; be kell látni, hogy α=45.
A C-ből az A pontba mutató helyvektor legyen a, a B pontba mutató helyvektor legyen b, ekkor ezek skaláris szorzata a definíció, illetve a koordináták segítségével kifejezve:
ab=|a||b|cosα=21035cosα,ab=63+26=30.
Ebből 30=21035cosα, innen cosα=12, azaz α=45.
Ezzel beláttuk, hogy a háromszög legkisebb szöge 45-os.
 
II. megoldás. A háromszögben a legrövidebb oldal 5 egység hosszúságú. Tudjuk, hogy bármely háromszögben rövidebb oldallal szemben kisebb szög van. Ezért a háromszög legkisebb szöge az 5 egység hosszúságú oldallal szemben lesz.
A háromszögben a koszinusz tételt alkalmazva megkapjuk ezt a szöget, melyet jelöljön β:
52=(35)2+(210)2-235210cosβ,cosβ=(35)2+(210)2-52235210=95+410-251250=6012252=12.
A háromszög legkisebb szöge valóban 45-os.
 
III. megoldás. Rajzoljuk meg az ABC háromszöget négyzethálóra. Az oldalak hossza: AB=35, BC=210, AC=5.
Vegyük fel a DBC háromszöget úgy, hogy CD=5 legyen, ekkor BD=BA, mert mindkettő egy 3×5-ös téglalap átlója. Vagyis ABCDBC. A jelzett szögek egyenlőségéből következik, hogy AB merőleges a DB-re, ABC=45. Ezért az ABC háromszög legkisebb szöge valóban 45-os.
 
Megjegyzés. A négyzetháló ettől eltérő megoldásokat is sugallhat. Például az ábrán látható szaggatott vonal behúzása is egy újabb ötletet ad a megoldáshoz: ily módon egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget kapunk.