Kezdőlap


Feladat:	C.864	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ancza Fruzsina , Fridrik József Richárd
Füzet:	2007/december, 524 - 525. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Műveletek helyvektorok koordinátáival, Vektorok skaláris szorzata, Koszinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: C.864

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Helyezzük el a háromszöget derékszögű koordinátarendszerben: legyen $A (6; 2)$ , $B (3; 6)$ , $C (0; 0)$ , ekkor valóban

\begin{matrix} \bar{A C} & = \sqrt[]{6^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt[]{10} \approx 6, 32, \bar{A B} = \sqrt[]{3^{2} + 4^{2}} = 5, \\ \bar{B C} & = \sqrt[]{3^{2} + 6^{2}} = 3 \sqrt[]{5} \approx 6, 71. \end{matrix}

Mivel

\bar{B C} > \bar{A C} > \bar{A B}

, az

\bar{A B}

-vel szemközt van a legkisebb szög, ez legyen

α

; be kell látni, hogy

α = 45^{\circ}

.
A

C

-ből az

A

pontba mutató helyvektor legyen

a

, a

B

pontba mutató helyvektor legyen

b

, ekkor ezek skaláris szorzata a definíció, illetve a koordináták segítségével kifejezve:

\begin{matrix} a \cdot b = | a | \cdot | b | \cdot cos α = 2 \sqrt[]{10} \cdot 3 \sqrt[]{5} \cdot cos α, a \cdot b = 6 \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 30. \end{matrix}

Ebből

30 = 2 \sqrt[]{10} \cdot 3 \sqrt[]{5} \cdot cos α

, innen

cos α = \frac{1}{\sqrt[]{2}}

, azaz

α = 45^{\circ}

.
Ezzel beláttuk, hogy a háromszög legkisebb szöge

45^{\circ}

-os.

II. megoldás. A háromszögben a legrövidebb oldal 5 egység hosszúságú. Tudjuk, hogy bármely háromszögben rövidebb oldallal szemben kisebb szög van. Ezért a háromszög legkisebb szöge az 5 egység hosszúságú oldallal szemben lesz.
A háromszögben a koszinusz tételt alkalmazva megkapjuk ezt a szöget, melyet jelöljön

β

\begin{matrix} 5^{2} & = {(3 \sqrt[]{5})}^{2} + {(2 \sqrt[]{10})}^{2} - 2 \cdot 3 \sqrt[]{5} \cdot 2 \sqrt[]{10} \cdot cos β, \\ cos β & = \frac{{(3 \sqrt[]{5})}^{2} + {(2 \sqrt[]{10})}^{2} - 5^{2}}{2 \cdot 3 \sqrt[]{5} \cdot 2 \sqrt[]{10}} = \frac{9 \cdot 5 + 4 \cdot 10 - 25}{12 \sqrt[]{50}} = \frac{60}{12 \sqrt[]{25 \cdot 2}} = \frac{1}{\sqrt[]{2}} . \end{matrix}

A háromszög legkisebb szöge valóban

45^{\circ}

-os.

III. megoldás. Rajzoljuk meg az

A B C

háromszöget négyzethálóra. Az oldalak hossza:

A B = 3 \sqrt[]{5}

B C = 2 \sqrt[]{10}

A C = 5

.
Vegyük fel a

D B C

háromszöget úgy, hogy

C D = 5

legyen, ekkor

B D = B A

, mert mindkettő egy

3 \times 5

-ös téglalap átlója. Vagyis

A B C ≅ D B C

. A jelzett szögek egyenlőségéből következik, hogy

A B

merőleges a

D B

-re,

A B C = 45^{\circ}

. Ezért az

A B C

háromszög legkisebb szöge valóban

45^{\circ}

-os.

Megjegyzés. A négyzetháló ettől eltérő megoldásokat is sugallhat. Például az ábrán látható szaggatott vonal behúzása is egy újabb ötletet ad a megoldáshoz: ily módon egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget kapunk.