Kezdőlap


Feladat:	B.3885	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bogár Péter , Csaba Ákos , Cseh Ágnes , Csizmadija Laura , Dányi Zsolt , Farkas Gergő , Fegyverneki Tamás , Győrffy Lajos , Gyöngyösi Zsolt , Honner Balázs , Kardos Kinga Gabriela , Komáromy Dani , Kovács 129 Péter , Kovács Péter , Lovász László Miklós , Mészáros Gábor , Nagy János , Németh Kitti Noémi , Páldy Sándor , Peregi Tamás , Priksz Ildikó , Salát Zsófia , Sümegi Károly , Szalóki Dávid , Szudi László , Tallián György , Tossenberger Anna
Füzet:	2006/december, 543 - 544. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Körülírt kör, Beírt kör, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/február: B.3885

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A szokásos jelölésekkel

\begin{matrix} r = (s - a) tg \frac{α}{2}, R = \frac{a}{2 sin α} \end{matrix}

(l. az ábrát).

Ekkor a feltétel:

\begin{matrix} (s - a) \frac{sin \frac{α}{2}}{cos \frac{α}{2}} = \frac{2 a}{sin α} cos α sin^{2} \frac{α}{2} . \end{matrix}

Szorozzuk meg mindkét oldalt

sin α = 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}

-vel:

\begin{matrix} 2 (s - a) sin^{2} \frac{α}{2} = 2 a cos α sin^{2} \frac{α}{2} . \end{matrix}

Egyszerűsítsünk a (nyilvánvalóan pozitív)

sin^{2} \frac{α}{2}

-vel, és a még megmaradt trigonometrikus tagot írjuk át a koszinusz-tétel segítségével:

\begin{matrix} b + c - a & = 2 a cos α, \\ b + c + a & = 2 a (1 + cos α) = 2 a \frac{{(b + c)}^{2} - a^{2}}{2 b c}, \\ b + c + a & = a \frac{(b + c + a) (b + c - a)}{b c} . \end{matrix}

Egyszerűsítés és rendezés után ebből kapjuk, hogy

(a - c) (b - a) = 0

, azaz

a = c

, vagy

a = b