Feladat: B.3885 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bogár Péter ,  Csaba Ákos ,  Cseh Ágnes ,  Csizmadija Laura ,  Dányi Zsolt ,  Farkas Gergő ,  Fegyverneki Tamás ,  Győrffy Lajos ,  Gyöngyösi Zsolt ,  Honner Balázs ,  Kardos Kinga Gabriela ,  Komáromy Dani ,  Kovács 129 Péter ,  Kovács Péter ,  Lovász László Miklós ,  Mészáros Gábor ,  Nagy János ,  Németh Kitti Noémi ,  Páldy Sándor ,  Peregi Tamás ,  Priksz Ildikó ,  Salát Zsófia ,  Sümegi Károly ,  Szalóki Dávid ,  Szudi László ,  Tallián György ,  Tossenberger Anna 
Füzet: 2006/december, 543 - 544. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Körülírt kör, Beírt kör, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/február: B.3885

Egy háromszög beírt körének sugara r, körülírt körének sugara R, egyik szöge pedig α. Tegyük fel, hogy
r=4Rcosαsin2α2.
Mutassuk meg, hogy a háromszög egyenlő szárú.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A szokásos jelölésekkel

r=(s-a)tgα2,R=a2sinα
(l. az ábrát).
 
 

Ekkor a feltétel:
(s-a)sinα2cosα2=2asinαcosαsin2α2.
Szorozzuk meg mindkét oldalt sinα=2sinα2cosα2-vel:
2(s-a)sin2α2=2acosαsin2α2.
Egyszerűsítsünk a (nyilvánvalóan pozitív) sin2α2-vel, és a még megmaradt trigonometrikus tagot írjuk át a koszinusz-tétel segítségével:
b+c-a=2acosα,b+c+a=2a(1+cosα)=2a(b+c)2-a22bc,b+c+a=a(b+c+a)(b+c-a)bc.
Egyszerűsítés és rendezés után ebből kapjuk, hogy (a-c)(b-a)=0, azaz a=c, vagy a=b.