Feladat: C.843 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hegedűs Attila ,  Poócza Katalin 
Füzet: 2007/január, 11 - 12. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszögek geometriája, Szinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/február: C.843

Az ABC háromszögben BAC=45. Az AC oldal A-hoz közelebbi harmadolópontját jelölje P. Tudjuk, hogy ABP=15. Mekkora az ACB?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Állítsunk merőlegest a C pontból a PB szakaszra, ennek talppontja legyen E. A CEP derékszögű háromszögben CPE=PAB+PBA=60,
így PCE=30, és PE=PC2. Mivel PA is PC2-vel egyenlő, azért PE=PA, vagyis az APE háromszög egyenlő szárú. Így ebben a háromszögben

PAE=PEA=CPE2=30.
Ezért CE=EA. Mivel EAB=PAB-PAE=45-30=15, és EBA=15, azért az AEB háromszög is egyenlő szárú, vagyis EA=EB. Azt kaptuk tehát, hogy CE=EA=EB, vagyis a CEB háromszög szintén egyenlő szárú, és mivel az E csúcsnál derékszög van, CBE=BCE=45. Ezek alapján ACB=PCE+BCE=30+45=75 (1. ábra).
 

 
1. ábra
 

 
II. megoldás. Jelölje x a b oldal harmadát, T a C pontból az AB oldalra bocsátott merőleges talppontját, végül δ1:=BCT (2. ábra). Ekkor TCA is 45, az ATC derékszögű háromszög egyenlő szárú, AT=TC=3x22. Írjuk fel az ABP háromszögben a szinusz-tételt:
cx=sin120sin(45-30)=sin120sin45cos30-cos45sin30==322232-2212=236-2=23(6+2)4=18+62=32+62.
Innen c=32+62x, TB=AB-AT=32+62x-3x22=62x. A CTB háromszögben felírva a δ1 szög tangensét:
tgδ1=TBTC=x623x22=33.
Innen δ1=30, így ABC=45+30=75.
 

 
2. ábra