Kezdőlap


Feladat:	C.843	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hegedűs Attila , Poócza Katalin
Füzet:	2007/január, 11 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Háromszögek geometriája, Szinusztétel alkalmazása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/február: C.843

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Állítsunk merőlegest a $C$ pontból a $P B$ szakaszra, ennek talppontja legyen $E$ . A $C E P$ derékszögű háromszögben $C P E ∢ = P A B ∢ + P B A ∢ = 60^{\circ}$ ,
így $P C E ∢ = 30^{\circ}$ , és $P E = \frac{P C}{2}$ . Mivel $P A$ is $\frac{P C}{2}$ -vel egyenlő, azért $P E = P A$ , vagyis az $A P E$ háromszög egyenlő szárú. Így ebben a háromszögben

\begin{matrix} P A E ∢ = P E A ∢ = \frac{C P E ∢}{2} = 30^{\circ} . \end{matrix}

Ezért

C E = E A

. Mivel

E A B ∢ = P A B ∢ - P A E ∢ = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}

, és

E B A ∢ = 15^{\circ}

, azért az

A E B

háromszög is egyenlő szárú, vagyis

E A = E B

. Azt kaptuk tehát, hogy

C E = E A = E B

, vagyis a

C E B

háromszög szintén egyenlő szárú, és mivel az

E

csúcsnál derékszög van,

C B E ∢ = B C E ∢ = 45^{\circ}

. Ezek alapján

A C B ∢ = P C E ∢ + B C E ∢ = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}

(1. ábra).

1. ábra

II. megoldás. Jelölje

x

b

oldal harmadát,

T

C

pontból az

A B

oldalra bocsátott merőleges talppontját, végül

δ_{1} : = B C T ∢

(2. ábra). Ekkor

T C A ∢

45^{\circ}

, az

A T C

derékszögű háromszög egyenlő szárú,

A T = T C = 3 x \frac{\sqrt[]{2}}{2}

. Írjuk fel az

A B P

háromszögben a szinusz-tételt:

\begin{matrix} \frac{c}{x} & = \frac{sin 120^{\circ}}{sin (45^{\circ} - 30^{\circ})} = \frac{sin 120^{\circ}}{sin 45^{\circ} cos 30^{\circ} - cos 45^{\circ} sin 30^{\circ}} = \\ = \frac{\frac{\sqrt[]{3}}{2}}{\frac{\sqrt[]{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} - \frac{\sqrt[]{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2 \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{6} - \sqrt[]{2}} = \frac{2 \sqrt[]{3} (\sqrt[]{6} + \sqrt[]{2})}{4} = \frac{\sqrt[]{18} + \sqrt[]{6}}{2} = \frac{3 \sqrt[]{2} + \sqrt[]{6}}{2} . \end{matrix}

Innen

c = \frac{3 \sqrt[]{2} + \sqrt[]{6}}{2} x

T B = A B - A T = \frac{3 \sqrt[]{2} + \sqrt[]{6}}{2} x - 3 x \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2} = \frac{\sqrt[]{6}}{2} x

. A

C T B

háromszögben felírva a

δ_{1}

szög tangensét:

\begin{matrix} tg δ_{1} = \frac{T B}{T C} = \frac{x \cdot \frac{\sqrt[]{6}}{2}}{3 x \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2}} = \frac{\sqrt[]{3}}{3} . \end{matrix}

Innen

δ_{1} = 30^{\circ}

, így

A B C ∢ = 45^{\circ} + 30^{\circ} = 75^{\circ}

2. ábra