Feladat: B.3872 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Matyuska Péter 
Füzet: 2007/január, 22 - 23. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/január: B.3872

Az ABC háromszög A-nál lévő szöge tompaszög. Legyen D az AB, E pedig az AC oldal tetszőleges pontja. Mutassuk meg, hogy
CD+BE>BD+DE+EC.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Bármely háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, ezért az ADC és AEB tompaszögű háromszögekben a tompaszögű A csúccsal szemben van a leghosszabb oldal. Így CD>CA és BE>BA. Az ADE háromszögben pedig a háromszög-egyenlőtlenség szerint

DE<AD+AE.
Ezért
CD+BE>BA+CA=BD+AD+AE+EC>BD+DE+EC,
ami éppen a bizonyítandó állítás.