Feladat: B.3868 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2006/október, 409 - 410. oldal  PDF file
Témakör(ök): Műveletek polinomokkal, Konstruktív megoldási módszer, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/december: B.3868

Ismeretes, hogy cos2x előáll cosx polinomjaként:
cos2x=2cos2x-1.
Előállítható-e sin2x a sinx polinomjaként?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy ilyen előállítás nem létezik. Tegyük fel, hogy ez nem igaz, tehát van olyan s(x) polinom, amelyre sin2x=s(sinx) teljesül minden x valós számra. Az ugyancsak minden valós x-re igaz sin2x=2sinxcosx, illetve a |cosx|=1-sin2x azonosságok felhasználásával kapjuk, hogy ekkor

s(sinx)=2sinx1-sin2x
fennáll minden olyan x valós számra, amelyre cosx=|cosx|. Ez utóbbi nyilván teljesül, ha például x[-π2;π2]. Ezen a halmazon a szinuszfüggvény végtelen sok különböző értéket vesz föl, az értékészlete a [-1;1] intervallum. Az s polinomra tehát teljesülnie kell, hogy minden y[-1;1] számra
s(y)=2y1-y2.(1)
A jobb oldal négyzete egy negyedfokú polinom, így az s polinom négyzete, amely maga is polinom, a [-1;1] intervallumon egyenlő egy negyedfokú polinommal. Ismeretes, hogy ha két polinom végtelen sok helyen ugyanazt az értéket veszi föl, akkor a két polinom azonosan egyenlő. Az s négyzete tehát egyenlő egy negyedfokú polinommal, így az s polinom szükségképpen másodfokú.
Ha most (1)-ben az y helyére rendre 0-t, 1-et, majd -1-et helyettesítünk, akkor eredményül mindhárom esetben 0-t kapunk: ez a másodfokú polinom tehát három különböző helyen a 0 értéket veszi föl. Ez nem lehetséges, a szóban forgó polinom tehát nem létezik.
 
II. megoldás. Tegyük fel most is, hogy sin2x=s(sinx) minden x-re és helyettesítsünk x helyére (π2-x)-et. Az ismert összefüggések felhasználásával ebből azt kapjuk, hogy
sin2(π2-x)=sin(π-2x)=sin2x=s(sin(π2-x))=s(cosx).
Az s polinomra tehát sin2x=s(cosx) is teljesül minden valós x-re. Vegyük észre, hogy az egyenlőség jobb oldalán egy páros függvény áll, hiszen a belső függvény páros. Az xsin2x függvény viszont nem páros függvény. Annyira nem az, hogy páratlan; az egyetlen kiút az lehetne, ha azonosan nulla volna, de persze nem az. Valóban nem létezik tehát a keresett előállítás.
 
Megjegyzések. 1. A második megoldásból valamivel jobban látszik, mi a különbség a látszólag egyenrangú koszinusz-, illetve szinuszfüggvények között: az utóbbi szimmetriáinak a szerkezete akadályozza meg a keresett alakot. Ha az xcos2x függvény ,,feltételezett'' előállítására alkalmazunk hasonló manővert, akkor a  -cos2x=s(sinx) egyenlőséget kapjuk. Ezzel viszont nincsen semmi baj, ugyanis abból, hogy egy összetett függvény (a jobb oldal) belső függvénye páratlan, az égvilágon semmi nem következik a teljes függvényre.
2. A második megoldásban mintha egyáltalán nem kellett volna hivatkoznunk arra, hogy a szóban forgó s függvény polinom; úgy tűnik, ez a bizonyítás azt adja, hogy egyáltalán nincs ilyen függvény. Ahhoz képest, hogy milyen jó kis matematikát csináltunk az első megoldásban, a feladat szövegezése jókora ködösítés; valójában egyszerűbb dologról van szó. Így végül a második megoldás is tömörebben és célratörőbben fogalmazható:
 
III. megoldás. Tegyük fel, hogy az s olyan függvény, amelyre
s(sinx)=sin2x
minden x-re. Ekkor például s(sin3π4)=sin3π2=-1, másrészt s(sinπ4)=sinπ2=1. Mivel sin3π4=sinπ4=22, azért s(22) értéke egyrészt -1, másrészt 1; ilyen függvény tényleg nincsen.