A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Megmutatjuk, hogy ilyen előállítás nem létezik. Tegyük fel, hogy ez nem igaz, tehát van olyan polinom, amelyre teljesül minden valós számra. Az ugyancsak minden valós -re igaz , illetve a azonosságok felhasználásával kapjuk, hogy ekkor fennáll minden olyan valós számra, amelyre . Ez utóbbi nyilván teljesül, ha például . Ezen a halmazon a szinuszfüggvény végtelen sok különböző értéket vesz föl, az értékészlete a intervallum. Az polinomra tehát teljesülnie kell, hogy minden számra A jobb oldal négyzete egy negyedfokú polinom, így az polinom négyzete, amely maga is polinom, a intervallumon egyenlő egy negyedfokú polinommal. Ismeretes, hogy ha két polinom végtelen sok helyen ugyanazt az értéket veszi föl, akkor a két polinom azonosan egyenlő. Az négyzete tehát egyenlő egy negyedfokú polinommal, így az polinom szükségképpen másodfokú. Ha most (1)-ben az helyére rendre 0-t, 1-et, majd -et helyettesítünk, akkor eredményül mindhárom esetben 0-t kapunk: ez a másodfokú polinom tehát három különböző helyen a 0 értéket veszi föl. Ez nem lehetséges, a szóban forgó polinom tehát nem létezik.
II. megoldás. Tegyük fel most is, hogy minden -re és helyettesítsünk helyére -et. Az ismert összefüggések felhasználásával ebből azt kapjuk, hogy | | Az polinomra tehát is teljesül minden valós -re. Vegyük észre, hogy az egyenlőség jobb oldalán egy páros függvény áll, hiszen a belső függvény páros. Az függvény viszont nem páros függvény. Annyira nem az, hogy páratlan; az egyetlen kiút az lehetne, ha azonosan nulla volna, de persze nem az. Valóban nem létezik tehát a keresett előállítás.
Megjegyzések. 1. A második megoldásból valamivel jobban látszik, mi a különbség a látszólag egyenrangú koszinusz-, illetve szinuszfüggvények között: az utóbbi szimmetriáinak a szerkezete akadályozza meg a keresett alakot. Ha az függvény ,,feltételezett'' előállítására alkalmazunk hasonló manővert, akkor a egyenlőséget kapjuk. Ezzel viszont nincsen semmi baj, ugyanis abból, hogy egy összetett függvény (a jobb oldal) belső függvénye páratlan, az égvilágon semmi nem következik a teljes függvényre. 2. A második megoldásban mintha egyáltalán nem kellett volna hivatkoznunk arra, hogy a szóban forgó függvény polinom; úgy tűnik, ez a bizonyítás azt adja, hogy egyáltalán nincs ilyen függvény. Ahhoz képest, hogy milyen jó kis matematikát csináltunk az első megoldásban, a feladat szövegezése jókora ködösítés; valójában egyszerűbb dologról van szó. Így végül a második megoldás is tömörebben és célratörőbben fogalmazható:
III. megoldás. Tegyük fel, hogy az olyan függvény, amelyre minden -re. Ekkor például , másrészt . Mivel , azért értéke egyrészt , másrészt ; ilyen függvény tényleg nincsen. |