Kezdőlap


Feladat:	B.3868	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2006/október, 409 - 410. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Konstruktív megoldási módszer, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: B.3868

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy ilyen előállítás nem létezik. Tegyük fel, hogy ez nem igaz, tehát van olyan $s (x)$ polinom, amelyre $sin 2 x = s (sin x)$ teljesül minden $x$ valós számra. Az ugyancsak minden valós $x$ -re igaz $sin 2 x = 2 sin x cos x$ , illetve a $| cos x | = \sqrt[]{1 - sin^{2} x}$ azonosságok felhasználásával kapjuk, hogy ekkor

\begin{matrix} s (sin x) = 2 sin x \sqrt[]{1 - sin^{2} x} \end{matrix}

fennáll minden olyan

x

valós számra, amelyre

cos x = | cos x |

. Ez utóbbi nyilván teljesül, ha például

x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

. Ezen a halmazon a szinuszfüggvény végtelen sok különböző értéket vesz föl, az értékészlete a

[- 1; 1]

intervallum. Az

s

polinomra tehát teljesülnie kell, hogy minden

y \in [- 1; 1]

számra

\begin{matrix} s (y) = 2 y \sqrt[]{1 - y^{2}} . \end{matrix}

(1)

A jobb oldal négyzete egy negyedfokú polinom, így az

s

polinom négyzete, amely maga is polinom, a

[- 1; 1]

intervallumon egyenlő egy negyedfokú polinommal. Ismeretes, hogy ha két polinom végtelen sok helyen ugyanazt az értéket veszi föl, akkor a két polinom azonosan egyenlő. Az

s

négyzete tehát egyenlő egy negyedfokú polinommal, így az

s

polinom szükségképpen másodfokú.
Ha most (1)-ben az

y

helyére rendre 0-t, 1-et, majd

- 1

-et helyettesítünk, akkor eredményül mindhárom esetben 0-t kapunk: ez a másodfokú polinom tehát három különböző helyen a 0 értéket veszi föl. Ez nem lehetséges, a szóban forgó polinom tehát nem létezik.

II. megoldás. Tegyük fel most is, hogy

sin 2 x = s (sin x)

minden

x

-re és helyettesítsünk

x

helyére

(\frac{π}{2} - x)

-et. Az ismert összefüggések felhasználásával ebből azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin 2 (\frac{π}{2} - x) = sin (π - 2 x) = sin 2 x = s (sin (\frac{π}{2} - x)) = s (cos x) . \end{matrix}

s

polinomra tehát

sin 2 x = s (cos x)

is teljesül minden valós

x

-re. Vegyük észre, hogy az egyenlőség jobb oldalán egy páros függvény áll, hiszen a belső függvény páros. Az

x \to sin 2 x

függvény viszont nem páros függvény. Annyira nem az, hogy páratlan; az egyetlen kiút az lehetne, ha azonosan nulla volna, de persze nem az. Valóban nem létezik tehát a keresett előállítás.

Megjegyzések. 1. A második megoldásból valamivel jobban látszik, mi a különbség a látszólag egyenrangú koszinusz-, illetve szinuszfüggvények között: az utóbbi szimmetriáinak a szerkezete akadályozza meg a keresett alakot. Ha az

x \to cos 2 x

függvény ,,feltételezett'' előállítására alkalmazunk hasonló manővert, akkor a

- cos 2 x = s (sin x)

egyenlőséget kapjuk. Ezzel viszont nincsen semmi baj, ugyanis abból, hogy egy összetett függvény (a jobb oldal) belső függvénye páratlan, az égvilágon semmi nem következik a teljes függvényre.
2. A második megoldásban mintha egyáltalán nem kellett volna hivatkoznunk arra, hogy a szóban forgó

s

függvény polinom; úgy tűnik, ez a bizonyítás azt adja, hogy egyáltalán nincs ilyen függvény. Ahhoz képest, hogy milyen jó kis matematikát csináltunk az első megoldásban, a feladat szövegezése jókora ködösítés; valójában egyszerűbb dologról van szó. Így végül a második megoldás is tömörebben és célratörőbben fogalmazható:

III. megoldás. Tegyük fel, hogy az

s

olyan függvény, amelyre

\begin{matrix} s (sin x) = sin 2 x \end{matrix}

minden

x

-re. Ekkor például

s (sin \frac{3 π}{4}) = sin \frac{3 π}{2} = - 1

, másrészt

s (sin \frac{π}{4}) = sin \frac{π}{2} = 1

. Mivel

sin \frac{3 π}{4} = sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

, azért

s (\frac{\sqrt[]{2}}{2})

értéke egyrészt

- 1

, másrészt

1

; ilyen függvény tényleg nincsen.