Feladat: C.830 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Fonyó Dávid ,  Lórántfy Tibor 
Füzet: 2006/szeptember, 335 - 336. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/december: C.830

Lord Moneybag így szólt az unokájához: ,,Bill, figyelj jól! Mindjárt itt a karácsony. Magamhoz vettem egy 300 és 500 font közötti összeget, mégpedig 6 font egész számú többszörösét. Kapsz belőle 5 fontot 1 fontosokban. Amikor egy-egy fontot átadok neked, a nálam maradt összeg először osztható lesz 5-tel, majd 4-gyel, azután 3-mal, majd 2-vel, végül csak 1-gyel és önmagával. Ha megmondod, hány font van nálam, még egy tízes üti a markodat.'' Mennyi pénzt vett magához a lord?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy a lord n fontot vett magához. Ekkor a feladat szövege alapján az alábbi oszthatóságok állnak fenn: 6n,  5n-1,  4n-2,  3n-3,  2n-4 és azt is tudjuk, hogy n-5 prímszám. Az 5n-1 feltétel alapján n-1 vagy 0-ra, vagy 5-re végződik, így n-nek vagy 1-re, vagy 6-ra kell végződnie. A 6n feltételből következik, hogy n páros, tehát csak 6-ra végződhet. Figyelembe véve, hogy a lord 300 és 500 font közötti összeget vett magához, n csak 3a6¯ vagy 4b6¯ alakú lehet. Mivel n oszható 6-tal, azért 3-mal is osztható, tehát számjegyeinek összege osztható 3-mal. Így n értéke csak a 306, 336, 366, 396, 426, 456 és 486 számok közül kerülhet ki. A 4n-2 feltétel ezek közül csak a 306, 366, 426, 486 számokra teljesül.
Képezve n-5 lehetséges értékeit:

306-5=301=743,366-5=361=192,426-5=421  prímszám,486-5=481=1337.

Tehát n egyetlen lehetséges értéke a 426, a lord 426 fontot vett magához.
 
II. megoldás. Jelölje x azt az összeget, amennyit a lord magához vett. Tudjuk, hogy 6x,  5x-1,  4x-2,  3x-3,  2x-4 és x-5 prímszám. Ezekből következik, hogy x-6 osztható 6-tal, 5-tel, 4-gyel, 3-mal és 2-vel is, vagyis biztosan osztható [6;5;4;3;2]=60-nal. 60-nak négy többszöröse esik a megfelelő intervallumba: 300, 360, 420 és 480. E számok közül azt keressük, amelyikhez 1-et adva prímszámot kapunk. 301=743, 361=192, 481=1337, egyedül a 421 prím.
Tehát a lord 421+5=426 fontot vett magához.