Kezdőlap


Feladat:	C.830	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fonyó Dávid , Lórántfy Tibor
Füzet:	2006/szeptember, 335 - 336. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: C.830

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tegyük fel, hogy a lord $n$ fontot vett magához. Ekkor a feladat szövege alapján az alábbi oszthatóságok állnak fenn: $6 ∣ n$ , $5 ∣ n - 1$ , $4 ∣ n - 2$ , $3 ∣ n - 3$ , $2 ∣ n - 4$ és azt is tudjuk, hogy $n - 5$ prímszám. Az $5 ∣ n - 1$ feltétel alapján $n - 1$ vagy 0-ra, vagy 5-re végződik, így $n$ -nek vagy 1-re, vagy 6-ra kell végződnie. A $6 ∣ n$ feltételből következik, hogy $n$ páros, tehát csak 6-ra végződhet. Figyelembe véve, hogy a lord 300 és 500 font közötti összeget vett magához, $n$ csak $\bar{3 a 6}$ vagy $\bar{4 b 6}$ alakú lehet. Mivel $n$ oszható 6-tal, azért 3-mal is osztható, tehát számjegyeinek összege osztható 3-mal. Így $n$ értéke csak a 306, 336, 366, 396, 426, 456 és 486 számok közül kerülhet ki. A $4 ∣ n - 2$ feltétel ezek közül csak a 306, 366, 426, 486 számokra teljesül.
Képezve $n - 5$ lehetséges értékeit:

\begin{matrix} 306 - 5 & = 301 = 7 \cdot 43, \\ 366 - 5 & = 361 = 19^{2}, \\ 426 - 5 & = 421 prímszám, \\ 486 - 5 & = 481 = 13 \cdot 37. \end{matrix}

Tehát

n

egyetlen lehetséges értéke a 426, a lord 426 fontot vett magához.

II. megoldás. Jelölje

x

azt az összeget, amennyit a lord magához vett. Tudjuk, hogy

6 ∣ x

5 ∣ x - 1

4 ∣ x - 2

3 ∣ x - 3

2 ∣ x - 4

és

x - 5

prímszám. Ezekből következik, hogy

x - 6

osztható 6-tal, 5-tel, 4-gyel, 3-mal és 2-vel is, vagyis biztosan osztható

[6; 5; 4; 3; 2] = 60

-nal. 60-nak négy többszöröse esik a megfelelő intervallumba: 300, 360, 420 és 480. E számok közül azt keressük, amelyikhez 1-et adva prímszámot kapunk.

301 = 7 \cdot 43

361 = 19^{2}

481 = 13 \cdot 37

, egyedül a 421 prím.
Tehát a lord

421 + 5 = 426

fontot vett magához.