Kezdőlap


Feladat:	B.3836	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2007/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenletek grafikus megoldása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/szeptember: B.3836

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A másodfokú egyenletnek akkor és csak akkor van két ‐ különböző ‐ gyöke, ha a diszkriminánsa, $D = 4 p^{2} - 4 q$ pozitív. A $(p; q)$ síkon ez a $q = p^{2}$ parabola külső pontjaira teljesül. Ez a halmaz látható az 1. ábrán.

1. ábra

b)

Az egyenletnek akkor ,,gyöke a kettő'', ha

x

helyére 2-t írva egyenlőséget kapunk:

2^{2} - 4 p + q = 4 - 4 p + q = 0

. A

(p; q)

síkon ez egy egyenes egyenlete, az egyenes a 2. ábrán látható.

2. ábra

c)

Ha az egyenletnek a ,,kettő az egyetlen gyöke'', akkor a

b)

részben talált feltétel mellett (

4 - 4 p + q = 0

) a diszkrimináns 0, azaz

q = p^{2}

. Ebből a

p^{2} - 4 p + 4 = {(p - 2)}^{2} = 0

egyenletet kapjuk, ahonnan

p = 2

és így

q = 4

. A

c)

feltétel tehát egyetlen számpárra teljesül, ez a

(2; 4)

(3. ábra).

3. ábra

Megjegyzés. Ha a három ponthalmazt egyetlen koordinátarendszerben ábrázoljuk (4. ábra), akkor látható, hogy a

b)

kérdés egyenese a

c)

kérdés pontjában érinti az

a)

kérdés ponthalmazát határoló parabolát.

4. ábra