Feladat: B.3836 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2007/február, 90 - 91. oldal  PDF file
Témakör(ök): Paraméteres egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenletek grafikus megoldása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/szeptember: B.3836

Ábrázoljuk a (p;q) síkon azokat a pontokat, amelyek p, q koordinátáira az x2-2px+q=0 egyenletnek
a) kettő gyöke van;
b) gyöke a kettő;
c) a kettő az egyetlen gyöke.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) A másodfokú egyenletnek akkor és csak akkor van két ‐ különböző ‐ gyöke, ha a diszkriminánsa, D=4p2-4q pozitív. A (p;q) síkon ez a q=p2 parabola külső pontjaira teljesül. Ez a halmaz látható az 1. ábrán.

 

 
1. ábra
 

b) Az egyenletnek akkor ,,gyöke a kettő'', ha x helyére 2-t írva egyenlőséget kapunk: 22-4p+q=4-4p+q=0. A (p;q) síkon ez egy egyenes egyenlete, az egyenes a 2. ábrán látható.
 

 
2. ábra
 

c) Ha az egyenletnek a ,,kettő az egyetlen gyöke'', akkor a b) részben talált feltétel mellett (4-4p+q=0) a diszkrimináns 0, azaz q=p2. Ebből a p2-4p+4=(p-2)2=0 egyenletet kapjuk, ahonnan p=2 és így q=4. A c) feltétel tehát egyetlen számpárra teljesül, ez a (2;4) (3. ábra).
 

 
3. ábra
 

 
Megjegyzés. Ha a három ponthalmazt egyetlen koordinátarendszerben ábrázoljuk (4. ábra), akkor látható, hogy a b) kérdés egyenese a c) kérdés pontjában érinti az a) kérdés ponthalmazát határoló parabolát.
 

 
4. ábra