Feladat: 3766. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kónya Gábor ,  Nagy Péter 
Füzet: 2006/február, 117 - 119. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb körfolyamatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/január: 3766. fizika feladat

Bizonyos mennyiségű egyatomos ideális gáz az ábrán látható körfolyamatot végzi. Az A és B állapot rögzített, a C állapot úgy változhat, hogy a CA folyamat izobár maradjon.
 
 

a) Mekkora a körfolyamat során végzett maximális hasznos munka, ha a BC folyamatban a hőmérséklet végig csökken?
b) Mekkora ebben az esetben a körfolyamatot végző gép hatásfoka?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) A CA folyamat izobár, ezért a C pont rajta van a p=p0 egyenesen. A körfolyamat hasznos munkája a gáz által végzett munka, tehát az ABC háromszög területe. Ez a terület (rögzített A és B esetén) akkor maximális, ha a C állapotbeli V1 térfogat a lehető legnagyobb. Mivel a BC folyamat során a hőmérséklet végig csökken, továbbá a hőmérséklet a pV szorzattal arányos, ezt a szorzatot érdemes meghatároznunk V függvényében:

pV=[3p04V0-V1(V-4V0)+4p0]V=aV2+bV.
Ez (a<0 miatt) egy lefelé nyíló parabolát ír le (1. ábra), melynek maximuma
V2=-b2a=23(V1-V0).
Ha ez a térfogat nem nagyobb, mint VB=4V0, akkor a BC folyamatban a hőmérséklet mindvégig csökkenni fog. Tehát fenn kell álljon, hogy
23(V1-V0)4V0,azazV1V1max=7V0,
és így a hasznos munka legnagyobb értéke
Wmax=123p0(V1max-V0)=9p0V0.

 
 

1. ábra
 

Megjegyzés. Ugyanezt az eredményt differenciálszámítás segítségével is megkaphatjuk. A B ponton áthaladó izoterma egyenlete pV=16p0V0, melynek a B pontbeli érintőjének meredeksége -p0/V0. Ha a BC egyenes meredeksége nem nagyobb (abszolút értékben nem kisebb), mint az érintőé, vagyis VC7V0, akkor a BC folyamat során a hőmérséklet nem növekszik.
 
b) A hatásfok kiszámításához meg kell határoznunk, hogy a körfolyamat mely szakaszain történik hőfelvétel, illetve hőleadás. Az AB folyamat során a gáz hőmérséklete, tehát a belső energiája is nő, és még WAB>0 munkát is végez, tehát biztosan hőt kell felvegyen:
QAB=ΔEAB+WAB=32(pBVB-pAVA)+12(pB+pA)(VB-VA)=30p0V0>0.
A CA folyamatban a gázon munkát végez a környezete, ennek ellenére a belső energiája csökken, tehát biztosan hőt ad le: QCA<0.
Nem ilyen egyszerű a helyzet a BC folyamattal. Kezdetben (a B állapot közelében) biztosan hőt vesz fel a gáz, hiszen a folyamat egy izoterma érintője mentén indul, tehát a belső energia nem változik, miközben a gáz munkát végez. Elképzelhető azonban, hogy a hőfelvétel a BC egyenesnek csak egy bizonyos D pontjáig tart, onnan kezdve a gáz hőt ad le.
A D pont helyzetét vagy az adiabaták meredekségének vizsgálatával határozhatjuk meg (hiszen a D pontban a BC egyenes éppen érinti a D-n áthaladó adiabatát), vagy az I. főtétel segítségével kaphatjuk meg. Tekintsük a gáz kicsiny ΔV térfogatváltozását a BC egyenes mentén. A felvett hő:
ΔQ=f2Δ(pV)+pΔV,
ahol p=aV+b és f=3. Innen
ΔQ=52(pΔV)+32(VΔp)>0,
ami a korábban kapott a=-p0/V0 és b=8p0 behelyettesítése után a
V<VD=5V0
feltételhez vezet.
 
 

2. ábra
 

A gáz tehát a BC szakasszal ábrázolt folyamatban csak a folytonos vonallal jelölt BD részen vesz fel hőt (2. ábra), és ennek nagysága
QBD=ΔEBD+WBD=32(pDVD-pBVB)+12(pB+pD)(VD-VB)=2p0V0>0.

A körfolyamatot végző gép hatásfoka
η=WQfel=WQAB+QBD=9p0V030p0V0+2p0V0=93228%.