Kezdőlap


Feladat:	3766. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kónya Gábor , Nagy Péter
Füzet:	2006/február, 117 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb körfolyamatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/január: 3766. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A $C A$ folyamat izobár, ezért a $C$ pont rajta van a $p = p_{0}$ egyenesen. A körfolyamat hasznos munkája a gáz által végzett munka, tehát az $A B C$ háromszög területe. Ez a terület (rögzített $A$ és $B$ esetén) akkor maximális, ha a $C$ állapotbeli $V_{1}$ térfogat a lehető legnagyobb. Mivel a $B C$ folyamat során a hőmérséklet végig csökken, továbbá a hőmérséklet a $p V$ szorzattal arányos, ezt a szorzatot érdemes meghatároznunk $V$ függvényében:

\begin{matrix} p V = [\frac{3 p_{0}}{4 V_{0} - V_{1}} (V - 4 V_{0}) + 4 p_{0}] V = a V^{2} + b V . \end{matrix}

Ez (

a < 0

miatt) egy lefelé nyíló parabolát ír le (1. ábra), melynek maximuma

\begin{matrix} V_{2} = - \frac{b}{2 a} = \frac{2}{3} (V_{1} - V_{0}) . \end{matrix}

Ha ez a térfogat nem nagyobb, mint

V_{B} = 4 V_{0}

, akkor a

B C

folyamatban a hőmérséklet mindvégig csökkenni fog. Tehát fenn kell álljon, hogy

\begin{matrix} \frac{2}{3} (V_{1} - V_{0}) \leq 4 V_{0}, azaz V_{1} \leq V_{1}^{max} = 7 V_{0}, \end{matrix}

és így a hasznos munka legnagyobb értéke

\begin{matrix} W_{max} = \frac{1}{2} 3 p_{0} (V_{1}^{{max}_{}^{}} - V_{0}) = 9 p_{0} V_{0} . \end{matrix}

1. ábra

Megjegyzés. Ugyanezt az eredményt differenciálszámítás segítségével is megkaphatjuk. A

B

ponton áthaladó izoterma egyenlete

p V = 16 p_{0} V_{0},

melynek a

B

pontbeli érintőjének meredeksége

- p_{0} / V_{0}

. Ha a

B C

egyenes meredeksége nem nagyobb (abszolút értékben nem kisebb), mint az érintőé, vagyis

V_{C} \leq 7 V_{0}

, akkor a

B C

folyamat során a hőmérséklet nem növekszik.

b)

A hatásfok kiszámításához meg kell határoznunk, hogy a körfolyamat mely szakaszain történik hőfelvétel, illetve hőleadás. Az

A B

folyamat során a gáz hőmérséklete, tehát a belső energiája is nő, és még

W_{A B} > 0

munkát is végez, tehát biztosan hőt kell felvegyen:

\begin{matrix} Q_{A B} = Δ E_{A B} + W_{A B} = \frac{3}{2} (p_{B} V_{B} - p_{A} V_{A}) + \frac{1}{2} (p_{B} + p_{A}) (V_{B} - V_{A}) = 30 p_{0} V_{0} > 0. \end{matrix}

C A

folyamatban a gázon munkát végez a környezete, ennek ellenére a belső energiája csökken, tehát biztosan hőt ad le:

Q_{C A} < 0

.
Nem ilyen egyszerű a helyzet a

B C

folyamattal. Kezdetben (a

B

állapot közelében) biztosan hőt vesz fel a gáz, hiszen a folyamat egy izoterma érintője mentén indul, tehát a belső energia nem változik, miközben a gáz munkát végez. Elképzelhető azonban, hogy a hőfelvétel a

B C

egyenesnek csak egy bizonyos

D

pontjáig tart, onnan kezdve a gáz hőt ad le.
A

D

pont helyzetét vagy az adiabaták meredekségének vizsgálatával határozhatjuk meg (hiszen a

D

pontban a

B C

egyenes éppen érinti a

D

-n áthaladó adiabatát), vagy az I. főtétel segítségével kaphatjuk meg. Tekintsük a gáz kicsiny

Δ V

térfogatváltozását a

B C

egyenes mentén. A felvett hő:

\begin{matrix} Δ Q = \frac{f}{2} Δ (p V) + p Δ V, \end{matrix}

ahol

p = a V + b

és

f = 3

. Innen

\begin{matrix} Δ Q = \frac{5}{2} (p Δ V) + \frac{3}{2} (V Δ p) > 0, \end{matrix}

ami a korábban kapott

a = - p_{0} / V_{0}

és

b = 8 p_{0}

behelyettesítése után a

\begin{matrix} V < V_{D} = 5 V_{0} \end{matrix}

feltételhez vezet.

2. ábra

A gáz tehát a

B C

szakasszal ábrázolt folyamatban csak a folytonos vonallal jelölt

B D

részen vesz fel hőt (2. ábra), és ennek nagysága

\begin{matrix} Q_{B D} = Δ E_{B D} + W_{B D} = \frac{3}{2} (p_{D} V_{D} - p_{B} V_{B}) + \frac{1}{2} (p_{B} + p_{D}) (V_{D} - V_{B}) = 2 p_{0} V_{0} > 0. \end{matrix}

A körfolyamatot végző gép hatásfoka

\begin{matrix} η = \frac{W}{Q_{fel}} = \frac{W}{Q_{A B} + Q_{B D}} = \frac{9 p_{0} V_{0}}{30 p_{0} V_{0} + 2 p_{0} V_{0}} = \frac{9}{32} \approx 28 % . \end{matrix}