Feladat: B.3715 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Farkas Ádám László 
Füzet: 2005/április, 214 - 215. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/március: B.3715

Legyen x pozitív szám, n pedig 1-nél nagyobb egész. Bizonyítsuk be, hogy
xn-1-1n-1xn-1n.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Szorozzuk a bizonyítandó egyenlőtlenség mindkét oldalát n(n-1)-gyel. Mivel n>1, ez az egyenlőtlenség ekvivalens átalakítása. Rendezés után kapjuk, hogy

0-nxn-1+nxn-1x-xn+1,0nxn-1(x-1)+(1-x)(1+x1+x2+...+xn-1),0(x-1)[nxn-1-(1+x1+x2+...+xn-1)].
Ha x1, akkor x-10, és x0,x1,x2,...,xn-1xn-1, ezért
(1+x1+x2+...+xn-1)nxn-1,
így nxn-1-(1+x1+x2+...+xn-1)0, azaz
0(x-1)[nxn-1-(1+x1+x2+...+xn-1)]
igaz.
Ha 0<x<1, akkor x-1<0, és x0,x1,x2,...,xn-1xn-1, ezért
1+x1+x2+...+xn-1nxn-1,
így nxn-1-(1+x1+x2+...+xn-1)0, azaz
0(x-1)[nxn-1-(1+x1+x2+...+xn-1)]
igaz.
Igazoltuk az egyenlőtlenséget, tehát bizonyítottuk a feladat állítását.