Kezdőlap


Feladat:	B.3715	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Ádám László
Füzet:	2005/április, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/március: B.3715

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Szorozzuk a bizonyítandó egyenlőtlenség mindkét oldalát $n (n - 1)$ -gyel. Mivel $n > 1$ , ez az egyenlőtlenség ekvivalens átalakítása. Rendezés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} 0 & \leq - n x^{n - 1} + n x^{n - 1} \cdot x - x^{n} + 1, \\ 0 & \leq n x^{n - 1} \cdot (x - 1) + (1 - x) (1 + x^{1} + x^{2} + ... + x^{n - 1}), \\ 0 & \leq (x - 1) [n x^{n - 1} - (1 + x^{1} + x^{2} + ... + x^{n - 1})] . \end{matrix}

x \geq 1

, akkor

x - 1 \geq 0

, és

x^{0}, x^{1}, x^{2}, ..., x^{n - 1} \leq x^{n - 1}

, ezért

\begin{matrix} (1 + x^{1} + x^{2} + ... + x^{n - 1}) \leq n \cdot x^{n - 1}, \end{matrix}

így

n x^{n - 1} - (1 + x^{1} + x^{2} + ... + x^{n - 1}) \geq 0

, azaz

\begin{matrix} 0 \leq (x - 1) [n x^{n - 1} - (1 + x^{1} + x^{2} + ... + x^{n - 1})] \end{matrix}

igaz.
Ha

0 < x < 1

, akkor

x - 1 < 0

, és

x^{0}, x^{1}, x^{2}, ..., x^{n - 1} \geq x^{n - 1}

, ezért

\begin{matrix} 1 + x^{1} + x^{2} + ... + x^{n - 1} \geq n \cdot x^{n - 1}, \end{matrix}

így

n x^{n - 1} - (1 + x^{1} + x^{2} + ... + x^{n - 1}) \leq 0

, azaz

\begin{matrix} 0 \leq (x - 1) [n x^{n - 1} - (1 + x^{1} + x^{2} + ... + x^{n - 1})] \end{matrix}

igaz.
Igazoltuk az egyenlőtlenséget, tehát bizonyítottuk a feladat állítását.