Feladat: B.3636 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Backhausz Ágnes ,  Bérczi Kristóf ,  Fehér Gábor ,  Füredi Mihály ,  Gehér György ,  Jankó Zsuzsanna ,  Jelitai Kálmán ,  Kiss-Tóth Christian ,  Korotij Ágnes ,  Kórus Péter ,  Mánfay Máté ,  Ruppert László Gábor ,  Salát Máté ,  Torma Róbert 
Füzet: 2005/április, 211 - 212. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/április: B.3636

Mi a feltétele annak, hogy létezzék olyan hat szakaszból álló zárt töröttvonal, amelynek oldalai adott sorrendben a, b, c, d, e, f, és a szemközti oldalak merőlegesek egymásra?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tekintsünk egy ilyen zárt töröttvonalat. Oldalain egy irányban haladva irányítsuk az oldalvektorokat. A töröttvonal zárt, ezért

a+b+c+d+e+f=0.
Rendezzük át az összeget úgy, hogy az egymásra merőleges vektorok szomszédosak legyenek, ezt megtehetjük a vektorok összeadásának kommutatív és asszociatív tulajdonsága miatt:
(a+d)+(b+e)+(c+f)=0.
Ez egyben azt is jelenti, hogy az (a+d), (b+e), (c+f) vektorok hosszaira teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. Így a töröttvonal létezésének szükséges feltétele, hogy a a2+d2, b2+e2, c2+f2 szakaszok közül egyik sem lehet nagyobb a másik kettő összegénél. Nem nehéz belátni e feltétel elégségességét is, hiszen ebből a három szakaszból egy legfeljebb elfajult háromszög szerkeszthető. Ezen háromszög megfelelő oldalaira kifelé megszerkesztjük a megfelelő derékszögű háromszögeket, a a2+d2 hosszú oldalra az a és d befogójú derékszögű háromszöget, és hasonlóan a többit. Már csak az oldalak átrendezésére van szükség, úgy, hogy szomszédos a és d, a b és e, valamint a c és f átellenesek legyenek. Ehhez az alábbi szomszédos oldalcserékre lesz szükség, amelyeket az 1. ábrán látható módon, esetenként elfajuló paralelogrammákkal valósíthatunk meg (a félkövérrel jelölt oldalakat cseréljük):
a,d,b,e,c,f,a,b,d,e,c,f,a,b,d,c,e,f,a,b,c,d,e,f.
Nem zártuk ki azt a lehetőséget sem, hogy a töröttvonal szomszédos oldalai esetleg egy egyenesbe esnek.
 

 
1. ábra
 

 
II. megoldás. Tegyük fel, hogy ABCDEFA ilyen zárt töröttvonal, ahol AB=a, BC=b, CD=c, DE=d, EF=e, FA=f. Tükrözzük az A pontot a BF szakasz felezőpontjára, az így kapott A' pontra A'B=FA=f és FA'=AB=a. Ezek az egymással egyenlő hosszúságú szakaszok egyben párhuzamosak is, tehát az A'B szakasz merőleges a CD szakaszra, az FA' szakasz pedig a DE szakaszra.
Ugyanígy tükrözve a C pontot a BD oldal felezőpontjára, az E pontot pedig a DF oldal felezőpontjára, olyan A'BC'DE'FA' zárt töröttvonalhoz jutunk, melynek oldalai A'B=f, BC'=c, C'D=b, DE'=e, E'F=d, FA'=a, és az A'B, C'D, E'F szakaszok rendre merőlegesek a BC', DE', FA' szakaszokra. Az A'C'E' pontok tehát olyan, esetleg elfajuló háromszöget határoznak meg, melynek oldalai f2+c2, b2+e2, d2+a2. Szükséges feltétel tehát, hogy ezen három szakasz közül egyik se legyen nagyobb a másik kettő összegénél.
Ez a feltétel egyben elégséges is. Ugyanis ha a f2+c2, b2+e2, d2+a2 szakaszokból megszerkesztjük az esetleg elfajuló A'C'E' háromszöget, majd ennek oldalaira a megfelelő A'BC', C'DE', E'FA' derékszögű háromszögeket, ahol A'B=f, BC'=c, C'D=b, DE'=e, E'F=d és FA'=a (erre az általános esetben 8 különféle lehetőségünk van), akkor az A', C', E' pontokat rendre az FB, BD, DF szakaszok felezőpontjára tükrözve a feltételeknek megfelelő ABCDEFA zárt töröttvonalat kapunk.
Bizonyításunk nem csak síkban adja meg a kívánt feltételt, példaként tekintsük a 2. ábrát.
 

 
2. ábra