Feladat: B.3604 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baráth Géza ,  Sipőcz Brigitta 
Füzet: 2005/április, 210 - 211. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egész együtthatós polinomok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/január: B.3604

Az x, y valós számokra teljesül, hogy x+y=1. Határozzuk meg az A(x,y)=x4y+xy4+x3y+xy3+x2y+xy2 kifejezés legnagyobb értékét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Végezzük el a következő átalakításokat:

A(x;y)=xy(x3+y3+x2+y2+x+y1)==xy[(x+y1)(x2-xy+y2)+x2+y2+1]==xy(x2+2xy+y21+x2-3xy+y2+1)=xy(x2-3xy+y2+2)==xy(x2+2xy+y21-5xy+2)=xy(3-5xy).
Az a=xy jelölést bevezetve A(x;y)=a(3-5a).
Ez az a-ban másodfokú kifejezés legnagyobb értékét az a=310 helyen veszi fel, a ]-,310] intervallumban pedig szigorúan monoton növekedő. Az x+y=1 feltétel miatt a lehetséges legnagyobb értéke 14, amit x=y=12 esetén vesz fel. Mivel 14<310, megállapíthatjuk, hogy az A(x;y) kifejezés legnagyobb értéke
A(12;12)=14(3-54)=716.

 
II. megoldás. Helyettesítsünk A-ban y helyére (1-x)-et:
A(x;1-x)=f(x)=x4(1-x)+x(1-x)4+x3(1-x)+x(1-x)3++x2(1-x)+x(1-x)2,azazf(x)=-5x4+10x3-8x2+3x.
Szélsőértéke ott lehet a kifejezésnek, ahol az első deriváltja 0:
f'(x)=-20x3+30x2-16x+3=0,
amit így is írhatunk:
(x-12)(-20x2+20x-6)=0.
Az egyenletnek csak az x=12 a gyöke (a második tényezőnek nincs valós zérushelye). Maximuma pedig akkor lesz, ha ennél az értéknél a második deriváltja negatív:
f''(x)=-60x2+60x-16,
behelyettesítve x=12-et:
(-60)14+6012-16=-1.

Tehát a kifejezésnek az x=12-nél maximuma van. Az x+y=1 alapján y=12.
Itt az eredeti kifejezés értéke: A(12;12)=716.