Kezdőlap


Feladat:	B.3604	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baráth Géza , Sipőcz Brigitta
Füzet:	2005/április, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész együtthatós polinomok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2003/január: B.3604

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Végezzük el a következő átalakításokat:

\begin{matrix} A (x; y) & = x y (x^{3} + y^{3} + x^{2} + y^{2} + {\underset{︸}{x + y}}_{1}^{}) = \\ = x y [({\underset{︸}{x + y}}_{1}^{}) (x^{2} - x y + y^{2}) + x^{2} + y^{2} + 1] = \\ = x y ({\underset{︸}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}_{1}^{} + x^{2} - 3 x y + y^{2} + 1) = x y (x^{2} - 3 x y + y^{2} + 2) = \\ = x y ({\underset{︸}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}_{1}^{} - 5 x y + 2) = x y (3 - 5 x y) . \end{matrix}

a = x y

jelölést bevezetve

A (x; y) = a (3 - 5 a)

.
Ez az

a

-ban másodfokú kifejezés legnagyobb értékét az

a = \frac{3}{10}

helyen veszi fel, a

] - \infty, \frac{3}{10}]

intervallumban pedig szigorúan monoton növekedő. Az

x + y = 1

feltétel miatt

a

lehetséges legnagyobb értéke

\frac{1}{4}

, amit

x = y = \frac{1}{2}

esetén vesz fel. Mivel

\frac{1}{4} < \frac{3}{10}

, megállapíthatjuk, hogy az

A (x; y)

kifejezés legnagyobb értéke

\begin{matrix} A (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} (3 - \frac{5}{4}) = \frac{7}{16} . \end{matrix}

II. megoldás. Helyettesítsünk

A

-ban

y

helyére

(1 - x)

-et:

\begin{matrix} A (x; 1 - x) = & f (x) = x^{4} (1 - x) + x {(1 - x)}^{4} + x^{3} (1 - x) + x {(1 - x)}^{3} + \\ + x^{2} (1 - x) + x {(1 - x)}^{2}, azaz \\ f (x) = & - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x . \end{matrix}

Szélsőértéke ott lehet a kifejezésnek, ahol az első deriváltja 0:

\begin{matrix} f' (x) = - 20 x^{3} + 30 x^{2} - 16 x + 3 = 0, \end{matrix}

amit így is írhatunk:

\begin{matrix} (x - \frac{1}{2}) (- 20 x^{2} + 20 x - 6) = 0. \end{matrix}

Az egyenletnek csak az

x = \frac{1}{2}

a gyöke (a második tényezőnek nincs valós zérushelye). Maximuma pedig akkor lesz, ha ennél az értéknél a második deriváltja negatív:

\begin{matrix} f'' (x) = - 60 x^{2} + 60 x - 16, \end{matrix}

behelyettesítve

x = \frac{1}{2}

-et:

\begin{matrix} (- 60) \cdot \frac{1}{4} + 60 \cdot \frac{1}{2} - 16 = - 1. \end{matrix}

Tehát a kifejezésnek az

x = \frac{1}{2}

-nél maximuma van. Az

x + y = 1

alapján

y = \frac{1}{2}

.
Itt az eredeti kifejezés értéke:

A (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}) = \frac{7}{16}