Feladat: B.3832 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kiss Réka ,  Szűcs Alexandra 
Füzet: 2006/február, 94 - 95. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatok hasonlósága, Háromszögek geometriája, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/szeptember: B.3832

Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójának tetszőleges pontja P, C-ből induló magasságának talppontja C1. P vetülete az AC befogón A1, a BC-n B1.
a) Bizonyítsuk be, hogy a P, A1, C, B1, C1 pontok egy körön vannak.
b) Bizonyítsuk be, hogy az A1B1C1 és az ABC háromszögek hasonlók.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) Az A1PB1C négyszög téglalap, mert az A1, B1 és C csúcsánál is derékszöge van. A téglalap köré írt körnek az A1B1 és a PC átló is átmérője (1. ábra). Mivel PC1C derékszög, a Thalész-tétel megfordítása miatt a C1 pont is rajta van a ‐ PC átmérőjű ‐ körön.

 
 

1. ábra
 

b) Legyen CAB=α és ABC=β=90-α. Az AC1C és BCC1 derékszögű háromszögek szögeit összeszámolva kapjuk, hogy C1CA=90-CAC1=90-α=β, illetve BCC1=90-C1BC=90-β=α (2. ábra).
 
 

2. ábra
 

Az A1C1B1C húrnégyszögben, mint láttuk, A1B1 a körülírt kör átmérője, ezért A1C1B1=90. A B1A1C1 és B1CC1 szögek, illetve a C1B1A1 és C1CA1 szögek azonos íven nyugvó kerületi szögek, ezért B1A1C1=B1CC1=BCC1=α és C1B1A1=C1CA1=β.
Az ABC és az A1B1C1 háromszögek szögei megegyeznek: α, β és 90, a két háromszög tehát hasonló.