Kezdőlap


Feladat:	B.3832	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Réka , Szűcs Alexandra
Füzet:	2006/február, 94 - 95. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Alakzatok hasonlósága, Háromszögek geometriája, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/szeptember: B.3832

A B C

derékszögű háromszög

A B

átfogójának tetszőleges pontja

P

C

-ből induló magasságának talppontja

C_{1}

P

vetülete az

A C

befogón

A_{1}

, a

B C

-n

B_{1}

a)

Bizonyítsuk be, hogy a

P

A_{1}

C

B_{1}

C_{1}

pontok egy körön vannak.

b)

Bizonyítsuk be, hogy az

A_{1} B_{1} C_{1}

és az

A B C

háromszögek hasonlók.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Az $A_{1} P B_{1} C$ négyszög téglalap, mert az $A_{1}$ , $B_{1}$ és $C$ csúcsánál is derékszöge van. A téglalap köré írt körnek az $A_{1} B_{1}$ és a $P C$ átló is átmérője (1. ábra). Mivel $P C_{1} C$ derékszög, a Thalész-tétel megfordítása miatt a $C_{1}$ pont is rajta van a ‐ $P C$ átmérőjű ‐ körön.

1. ábra

b)

Legyen

C A B ∢ = α

és

A B C ∢ = β = 90^{\circ} - α

. Az

A C_{1} C

és

B C C_{1}

derékszögű háromszögek szögeit összeszámolva kapjuk, hogy

C_{1} C A ∢ = 90^{\circ} - C A C_{1} ∢ = 90^{\circ} - α = β

, illetve

B C C_{1} ∢ = 90^{\circ} - C_{1} B C ∢ = 90^{\circ} - β = α

(2. ábra).

2. ábra

A_{1} C_{1} B_{1} C

húrnégyszögben, mint láttuk,

A_{1} B_{1}

a körülírt kör átmérője, ezért

A_{1} C_{1} B_{1} ∢ = 90^{\circ}

. A

B_{1} A_{1} C_{1}

és

B_{1} C C_{1}

szögek, illetve a

C_{1} B_{1} A_{1}

és

C_{1} C A_{1}

szögek azonos íven nyugvó kerületi szögek, ezért

B_{1} A_{1} C_{1} ∢ = B_{1} C C_{1} ∢ = B C C_{1} ∢ = α

és

C_{1} B_{1} A_{1} ∢ = C_{1} C A_{1} ∢ = β

.
Az

A B C

és az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögek szögei megegyeznek:

α

β

és

90^{\circ}

, a két háromszög tehát hasonló.