Feladat: B.3820 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ureczky Bálint 
Füzet: 2006/február, 93 - 94. oldal  PDF file
Témakör(ök): Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/április: B.3820

Oldjuk meg a következő egyenletet:
(5x-2x-2)2+2lg(5x+2x-2)=x.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel 5x>0 és 2x-2>0 minden x-re, alkalmazhatjuk rájuk a számtani-mértani közép közötti egyenlőtlenséget:

5x+2x-225x2x-2=10x2.
Szorozzuk 2-vel, majd vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát. Az lg függvény szigorúan monoton növekvő, ezért ez ekvivalens lesz az alábbival:
lg(5x+2x-2)lg10x2=x2.
Szorozzuk 2-vel, majd adjuk hozzá az (5x-2x-2)20 egyenlőtlenséget. Így kapjuk, hogy
(5x-2x-2)2+2lg(5x+2x-2)x.
Egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha az eredeti egyenlőtlenségekben is egyenlőség van, ami mindkét esetben akkor teljesül, ha 5x=2x-2, vagyis (25)x=4.
Vegyük mindkét oldal 25 alapú logaritmusát, ekkor kapjuk az egyenlet egyetlen megoldását: x=log254.
(Ha még kicsit alakítjuk, akkor az
x=log254=lg4lg25-1,5129
közelítő értéket kapjuk.)