Kezdőlap


Feladat:	B.3820	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ureczky Bálint
Füzet:	2006/február, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/április: B.3820

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel $5^{x} > 0$ és $2^{x - 2} > 0$ minden $x$ -re, alkalmazhatjuk rájuk a számtani-mértani közép közötti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{5^{x} + 2^{x - 2}}{2} \geq \sqrt[]{5^{x} \cdot 2^{x - 2}} = \frac{\sqrt[]{10^{x}}}{2} . \end{matrix}

Szorozzuk 2-vel, majd vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát. Az lg függvény szigorúan monoton növekvő, ezért ez ekvivalens lesz az alábbival:

\begin{matrix} lg (5^{x} + 2^{x - 2}) \geq lg 10^{\frac{x}{2}} = \frac{x}{2} . \end{matrix}

Szorozzuk 2-vel, majd adjuk hozzá az

{(5^{x} - 2^{x - 2})}^{2} \geq 0

egyenlőtlenséget. Így kapjuk, hogy

\begin{matrix} {(5^{x} - 2^{x - 2})}^{2} + 2 lg (5^{x} + 2^{x - 2}) \geq x . \end{matrix}

Egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha az eredeti egyenlőtlenségekben is egyenlőség van, ami mindkét esetben akkor teljesül, ha

5^{x} = 2^{x - 2}

, vagyis

{(\frac{2}{5})}^{x} = 4

.
Vegyük mindkét oldal

\frac{2}{5}

alapú logaritmusát, ekkor kapjuk az egyenlet egyetlen megoldását:

x = log_{\frac{2}{5}} 4

.
(Ha még kicsit alakítjuk, akkor az

\begin{matrix} x = log_{\frac{2}{5}} 4 = \frac{lg 4}{lg \frac{2}{5}} \approx - 1, 5129 \end{matrix}

közelítő értéket kapjuk.)