Feladat: B.3819 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Cseh Ágnes ,  Estélyi István ,  Fegyverneki Dániel ,  Fischer Richárd ,  Halász Veronika ,  Hujter Bálint ,  Kisfaludi-Bak Sándor ,  Kiss-Tóth Christian ,  Kunovszki Péter ,  Lorántfy Bettina ,  Mészáros Gábor ,  Nagy Csaba ,  Nagy János ,  Nagy Péter ,  Pálovics Róbert ,  Poronyi Balázs ,  Sommer Dániel ,  Strenner Balázs ,  Szalkai Balázs ,  Szalóki Dávid ,  Szegvári Gábor ,  Szirmai Péter ,  Tomon István ,  Tossenberger Anna ,  Udvari Balázs ,  Ureczky Bálint 
Füzet: 2006/február, 91 - 93. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Középponti és kerületi szögek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/április: B.3819

Mutassuk meg, hogy ha A1B1, A2B2 és A3B3 egy kör három párhuzamos húrja, akkor az A1, A2, illetve A3 pontból rendre a B2B3, B3B1 és B1B2 egyenesre állított merőlegesek egy ponton mennek át.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük M-mel az A2-ből a B1B3 egyenesre bocsátott merőleges és az A3-ból a B1B2 egyenesre bocsátott merőleges metszéspontját (ez a metszéspont mindig létezik, mert a B1B3 és a B1B2 egyenesek nem párhuzamosak). Azt kell megmutatnunk, hogy az A1M egyenes merőleges B2B3-ra. Ezt vektorok segítségével látjuk be.
Legyen MAi=ai és MBi=bi (i=1,2,3). Mivel MA3 merőleges B1B2-re, azért a3(b1-b2)=0, amit úgy is írhatunk, hogy

(a1+(a3-a1))(b1-b2)=0,azaza1(b1-b2)=(a1-a3)(b1-b2).
Ugyanígy kapjuk MA2 és B1B3 merőlegességéből, hogy
a1(b1-b3)=(a1-a2)(b1-b3).
E két egyenlőséget kivonva egymásból:
a1(b3-b2)=(a1-a3)(b1-b2)-(a1-a2)(b1-b3).

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

Az A1B1, A2B2 és A3B3 egy kör három párhuzamos húrja, ezért a húrok közös felezőmerőlegesére tükrözve Ai képe Bi, vagyis az ai-aj vektor tükörképe a bi-bj vektor. Ez viszont azt jelenti, hogy
(a1-a3)(b1-b2)=(b1-b3)(a1-a2),
mert a vektorok hossza is, és szögük is megegyezik.
Tehát a1(b3-b2)=0, vagyis az MA1 szakasz merőleges a B2B3 egyenesre, ami éppen a bizonyítandó állítás.
 
II. megoldás. Legyen most M az A1-ből a B2B3 egyenesre bocsátott merőleges és az A2-ből a B1B3 egyenesre bocsátott merőleges metszéspontja. Ekkor az A1MA2 és a B1B3B2 szögek merőleges szárúak, tehát vagy egyenlőek vagy pedig 180-ra egészítik ki egymást. Vagyis M az A1A2 pontpárnak ugyanolyan szögű látókörén helyezkedik el, mint B3 a B1B2 pontpárnak (hiszen az α és a 180-α szögű látókörök, ha teljes köröket tekintünk, akkor megegyeznek). Viszont a B1, B2, B3 pontokon átmenő körben A1A2 és B1B2 szimmetrikusan helyezkedik el, ezért a két látókör megegyezik, tehát M is az adott körön van. (Itt a lehetséges esetek szétválasztásával meg kell gondolnunk, hogy nem fordulhat elő az, hogy M az A1A2 pontpárhoz tartozó másik ugyanolyan szögű látóköríven van. Ezt az ábrák alapján elvégezhető diszkussziót az olvasóra bízzuk.)
 
 

3. ábra
 

Ekkor viszont azt is mondhatjuk, hogy M nem más mint az Ai-ből a BjB3 ({i;j}={1;2}) egyenesre bocsátott merőlegesnek a körrel vett második metszéspontja. Ugyanígy megmutathatjuk, hogy az A3-ból B1B2-re bocsátott merőleges is áthalad az A1-ből B2B3-ra bocsátott merőleges és a kör második metszéspontján, a három merőleges tehát mindig egy ponton megy át.