Kezdőlap


Feladat:	B.3819	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cseh Ágnes , Estélyi István , Fegyverneki Dániel , Fischer Richárd , Halász Veronika , Hujter Bálint , Kisfaludi-Bak Sándor , Kiss-Tóth Christian , Kunovszki Péter , Lorántfy Bettina , Mészáros Gábor , Nagy Csaba , Nagy János , Nagy Péter , Pálovics Róbert , Poronyi Balázs , Sommer Dániel , Strenner Balázs , Szalkai Balázs , Szalóki Dávid , Szegvári Gábor , Szirmai Péter , Tomon István , Tossenberger Anna , Udvari Balázs , Ureczky Bálint
Füzet:	2006/február, 91 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Középponti és kerületi szögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/április: B.3819

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük $M$ -mel az $A_{2}$ -ből a $B_{1} B_{3}$ egyenesre bocsátott merőleges és az $A_{3}$ -ból a $B_{1} B_{2}$ egyenesre bocsátott merőleges metszéspontját (ez a metszéspont mindig létezik, mert a $B_{1} B_{3}$ és a $B_{1} B_{2}$ egyenesek nem párhuzamosak). Azt kell megmutatnunk, hogy az $A_{1} M$ egyenes merőleges $B_{2} B_{3}$ -ra. Ezt vektorok segítségével látjuk be.
Legyen $\vec{M A_{i}} = a_{i}$ és $\vec{M B_{i}} = b_{i}$ $(i = 1,2,3)$ . Mivel $M A_{3}$ merőleges $B_{1} B_{2}$ -re, azért $a_{3} (b_{1} - b_{2}) = 0$ , amit úgy is írhatunk, hogy

\begin{matrix} (a_{1} + (a_{3} - a_{1})) (b_{1} - b_{2}) = 0, azaz a_{1} (b_{1} - b_{2}) = (a_{1} - a_{3}) (b_{1} - b_{2}) . \end{matrix}

Ugyanígy kapjuk

M A_{2}

és

B_{1} B_{3}

merőlegességéből, hogy

\begin{matrix} a_{1} (b_{1} - b_{3}) = (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{3}) . \end{matrix}

E két egyenlőséget kivonva egymásból:

\begin{matrix} a_{1} (b_{3} - b_{2}) = (a_{1} - a_{3}) (b_{1} - b_{2}) - (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{3}) . \end{matrix}

1. ábra

2. ábra

A_{1} B_{1}

A_{2} B_{2}

és

A_{3} B_{3}

egy kör három párhuzamos húrja, ezért a húrok közös felezőmerőlegesére tükrözve

A_{i}

képe

B_{i}

, vagyis az

a_{i} - a_{j}

vektor tükörképe a

b_{i} - b_{j}

vektor. Ez viszont azt jelenti, hogy

\begin{matrix} (a_{1} - a_{3}) (b_{1} - b_{2}) = (b_{1} - b_{3}) (a_{1} - a_{2}), \end{matrix}

mert a vektorok hossza is, és szögük is megegyezik.
Tehát

a_{1} (b_{3} - b_{2}) = 0

, vagyis az

M A_{1}

szakasz merőleges a

B_{2} B_{3}

egyenesre, ami éppen a bizonyítandó állítás.

II. megoldás. Legyen most

M

A_{1}

-ből a

B_{2} B_{3}

egyenesre bocsátott merőleges és az

A_{2}

-ből a

B_{1} B_{3}

egyenesre bocsátott merőleges metszéspontja. Ekkor az

A_{1} M A_{2}

és a

B_{1} B_{3} B_{2}

szögek merőleges szárúak, tehát vagy egyenlőek vagy pedig

180^{\circ}

-ra egészítik ki egymást. Vagyis

M

A_{1} A_{2}

pontpárnak ugyanolyan szögű látókörén helyezkedik el, mint

B_{3}

B_{1} B_{2}

pontpárnak (hiszen az

α

és a

180^{\circ} - α

szögű látókörök, ha teljes köröket tekintünk, akkor megegyeznek). Viszont a

B_{1}

B_{2}

B_{3}

pontokon átmenő körben

A_{1} A_{2}

és

B_{1} B_{2}

szimmetrikusan helyezkedik el, ezért a két látókör megegyezik, tehát

M

is az adott körön van. (Itt a lehetséges esetek szétválasztásával meg kell gondolnunk, hogy nem fordulhat elő az, hogy

M

A_{1} A_{2}

pontpárhoz tartozó másik ugyanolyan szögű látóköríven van. Ezt az ábrák alapján elvégezhető diszkussziót az olvasóra bízzuk.)

3. ábra

Ekkor viszont azt is mondhatjuk, hogy

M

nem más mint az

A_{i}

-ből a

B_{j} B_{3}

({i; j} = {1; 2})

egyenesre bocsátott merőlegesnek a körrel vett második metszéspontja. Ugyanígy megmutathatjuk, hogy az

A_{3}

-ból

B_{1} B_{2}

-re bocsátott merőleges is áthalad az

A_{1}

-ből

B_{2} B_{3}

-ra bocsátott merőleges és a kör második metszéspontján, a három merőleges tehát mindig egy ponton megy át.