|
Feladat: |
B.3819 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Cseh Ágnes , Estélyi István , Fegyverneki Dániel , Fischer Richárd , Halász Veronika , Hujter Bálint , Kisfaludi-Bak Sándor , Kiss-Tóth Christian , Kunovszki Péter , Lorántfy Bettina , Mészáros Gábor , Nagy Csaba , Nagy János , Nagy Péter , Pálovics Róbert , Poronyi Balázs , Sommer Dániel , Strenner Balázs , Szalkai Balázs , Szalóki Dávid , Szegvári Gábor , Szirmai Péter , Tomon István , Tossenberger Anna , Udvari Balázs , Ureczky Bálint |
Füzet: |
2006/február,
91 - 93. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai bizonyítások, Középponti és kerületi szögek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2005/április: B.3819 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük -mel az -ből a egyenesre bocsátott merőleges és az -ból a egyenesre bocsátott merőleges metszéspontját (ez a metszéspont mindig létezik, mert a és a egyenesek nem párhuzamosak). Azt kell megmutatnunk, hogy az egyenes merőleges -ra. Ezt vektorok segítségével látjuk be. Legyen és . Mivel merőleges -re, azért , amit úgy is írhatunk, hogy | | Ugyanígy kapjuk és merőlegességéből, hogy | | E két egyenlőséget kivonva egymásból: | |
1. ábra
2. ábra Az , és egy kör három párhuzamos húrja, ezért a húrok közös felezőmerőlegesére tükrözve képe , vagyis az vektor tükörképe a vektor. Ez viszont azt jelenti, hogy | | mert a vektorok hossza is, és szögük is megegyezik. Tehát , vagyis az szakasz merőleges a egyenesre, ami éppen a bizonyítandó állítás.
II. megoldás. Legyen most az -ből a egyenesre bocsátott merőleges és az -ből a egyenesre bocsátott merőleges metszéspontja. Ekkor az és a szögek merőleges szárúak, tehát vagy egyenlőek vagy pedig -ra egészítik ki egymást. Vagyis az pontpárnak ugyanolyan szögű látókörén helyezkedik el, mint a pontpárnak (hiszen az és a szögű látókörök, ha teljes köröket tekintünk, akkor megegyeznek). Viszont a , , pontokon átmenő körben és szimmetrikusan helyezkedik el, ezért a két látókör megegyezik, tehát is az adott körön van. (Itt a lehetséges esetek szétválasztásával meg kell gondolnunk, hogy nem fordulhat elő az, hogy az pontpárhoz tartozó másik ugyanolyan szögű látóköríven van. Ezt az ábrák alapján elvégezhető diszkussziót az olvasóra bízzuk.)
3. ábra Ekkor viszont azt is mondhatjuk, hogy nem más mint az -ből a egyenesre bocsátott merőlegesnek a körrel vett második metszéspontja. Ugyanígy megmutathatjuk, hogy az -ból -re bocsátott merőleges is áthalad az -ből -ra bocsátott merőleges és a kör második metszéspontján, a három merőleges tehát mindig egy ponton megy át. |
|