Feladat: B.3813 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dudás László ,  Estélyi István ,  Gehér György ,  Károlyi Márton ,  Kiss-Tóth Christian ,  Nagy János ,  Páldy Sándor ,  Sommer Dániel ,  Strenner Balázs 
Füzet: 2006/február, 91. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög nevezetes körei, Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/április: B.3813

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges ABC háromszög belsejében pontosan egy olyan M pont van, amelyre
MA+BC=MB+AC=MC+AB.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy létezik ilyen M pont, majd belátjuk, hogy csak egy ilyen pont van.
Nézzük az A középpontú s-a sugarú, a B középpontú s-b sugarú, valamint a C középpontú s-c sugarú köröket. Ezek páronként érintik egymást, mert a középpontjaik távolsága megegyezik a sugaraik összegével. Pontosan egy olyan kör van, amely ezeket kívülről érinti, és egyiket sem tartalmazza (l. Apollóniusz-féle szerkesztések). Legyen ennek a körnek a középpontja M, sugara r. Ekkor MA+BC=MB+AC=MC+AB=s+r, azaz M megfelel a feltételnek.

 
 

Ezután belátjuk, hogy több ilyen pont nem létezhet.
Tegyük fel, hogy két ilyen pont van: M és N. Húzzuk meg az MA, MB, MC szakaszokat. Ekkor N valamelyik így keletkező háromszögtartományba vagy annak határára esik. Feltehető, hogy ez a háromszög az ABM háromszög. Ekkor a háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával nyerjük, hogy
MA+MB>NA+NB.

Emiatt 2(MA+BC)=MA+BC+MB+AC>NA+BC+NB+AC=2(NA+BC).
Cseréljük fel M és N szerepét, azaz N-ből húzzuk meg a csúcsokba vezető szakaszokat. Ekkor M lesz valamelyik kisebb háromszögben, így a fentiekhez hasonlóan azt kapjuk, hogy
2(NA+BC)>2(MA+BC).
Ez ellentmondás, tehát valóban csak egy ilyen pont létezhet.