A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Először megmutatjuk, hogy létezik ilyen pont, majd belátjuk, hogy csak egy ilyen pont van. Nézzük az középpontú sugarú, a középpontú sugarú, valamint a középpontú sugarú köröket. Ezek páronként érintik egymást, mert a középpontjaik távolsága megegyezik a sugaraik összegével. Pontosan egy olyan kör van, amely ezeket kívülről érinti, és egyiket sem tartalmazza (l. Apollóniusz-féle szerkesztések). Legyen ennek a körnek a középpontja , sugara . Ekkor , azaz megfelel a feltételnek.
Ezután belátjuk, hogy több ilyen pont nem létezhet. Tegyük fel, hogy két ilyen pont van: és . Húzzuk meg az , , szakaszokat. Ekkor valamelyik így keletkező háromszögtartományba vagy annak határára esik. Feltehető, hogy ez a háromszög az háromszög. Ekkor a háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával nyerjük, hogy Emiatt . Cseréljük fel és szerepét, azaz -ből húzzuk meg a csúcsokba vezető szakaszokat. Ekkor lesz valamelyik kisebb háromszögben, így a fentiekhez hasonlóan azt kapjuk, hogy Ez ellentmondás, tehát valóban csak egy ilyen pont létezhet. |