Kezdőlap


Feladat:	B.3813	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dudás László , Estélyi István , Gehér György , Károlyi Márton , Kiss-Tóth Christian , Nagy János , Páldy Sándor , Sommer Dániel , Strenner Balázs
Füzet:	2006/február, 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög nevezetes körei, Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/április: B.3813

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy létezik ilyen $M$ pont, majd belátjuk, hogy csak egy ilyen pont van.
Nézzük az $A$ középpontú $s - a$ sugarú, a $B$ középpontú $s - b$ sugarú, valamint a $C$ középpontú $s - c$ sugarú köröket. Ezek páronként érintik egymást, mert a középpontjaik távolsága megegyezik a sugaraik összegével. Pontosan egy olyan kör van, amely ezeket kívülről érinti, és egyiket sem tartalmazza (l. Apollóniusz-féle szerkesztések). Legyen ennek a körnek a középpontja $M$ , sugara $r$ . Ekkor $M A + B C = M B + A C = M C + A B = s + r$ , azaz $M$ megfelel a feltételnek.

Ezután belátjuk, hogy több ilyen pont nem létezhet.
Tegyük fel, hogy két ilyen pont van:

M

és

N

. Húzzuk meg az

M A

M B

M C

szakaszokat. Ekkor

N

valamelyik így keletkező háromszögtartományba vagy annak határára esik. Feltehető, hogy ez a háromszög az

A B M

háromszög. Ekkor a háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával nyerjük, hogy

\begin{matrix} M A + M B > N A + N B . \end{matrix}

Emiatt

2 (M A + B C) = M A + B C + M B + A C > N A + B C + N B + A C = 2 (N A + B C)

.
Cseréljük fel

M

és

N

szerepét, azaz

N

-ből húzzuk meg a csúcsokba vezető szakaszokat. Ekkor

M

lesz valamelyik kisebb háromszögben, így a fentiekhez hasonlóan azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 (N A + B C) > 2 (M A + B C) . \end{matrix}

Ez ellentmondás, tehát valóban csak egy ilyen pont létezhet.