Feladat: 3812. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Paulin Roland 
Füzet: 2006/január, 55 - 56. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pozitron, Relativisztikus impulzus, Relativisztikus energia, Foton (mint elemi részecske), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/május: 3812. fizika feladat

Elhanyagolható sebességű elektronnak ütközik egy pozitron. A szétsugárzás során keletkező két foton sebessége merőleges egymásra. Legalább mekkora volt a pozitron sebessége?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A pozitron és az elektron nyugalmi tömege m0, a fénysebesség vákuumban c=2,9979108 m/s. Jelöljük a pozitron impulzusát p-vel, a keletkező fotonok impulzusát pedig p1-gyel és p2-vel!

 
 

Az impulzusmegmaradás tétele szerint p=p1+p2, az egymásra merőleges fotonimpulzusok nagyságára tehát Pitagorasz tétele szerint fennáll
p2=p12+p22.(1)

A fotonok energiája E1=p1c, illetve E2=p2c, a v sebességgel haladó, tehát
p=m0v1-v2c2
impulzussal rendelkező pozitron teljes (nyugalmi + mozgási) energiája pedig
E=m0c21-v2c2=m02c4+(pc)2.(2)
A relativisztikus energiamegmaradás törvénye értelmében a pozitron energiájának és az álló elektron nyugalmi energiájának összege a keletkező fotonok összenergiájával egyezik meg:
E+m0c2=E1+E2.(3)

Fejezzük ki (1)-ben a fotonok impulzusát az energiájukkal, helyettesítsük be az így kiszámított p impulzust (2)-be:
E12+E22=E2-(m0c2)2,(4)
majd fejezzük ki (3)-ból E2-t és helyettesítsük (4)-be:
E12-E1(E+m0c2)+(E+m0c2)m0c2=0.(5)
Ennek a másodfokú egyenletnek akkor van valós megoldása E1-re, ha a diszkriminánsa nem negatív:
(E+m0c2)24(E+m0c2)m0c2,
azaz
E3m0c2.(6)

Határesetben E=3m0c2, ilyenkor E1=E2=2m0c2. A fotonok impulzusa ekkor p1=p2=2m0c2 nagyságú, és az ábrán látható téglalap négyzet. Ebben az esetben a fotonok a pozitron kezdeti impulzusához képest 45-os szögben repülnek szét.
A pozitron sebességére vonatkozó korlátot (2)-ből és (6)-ból számíthatjuk ki:
v89c=2,826108ms.