Kezdőlap


Feladat:	3812. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Paulin Roland
Füzet:	2006/január, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pozitron, Relativisztikus impulzus, Relativisztikus energia, Foton (mint elemi részecske), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/május: 3812. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A pozitron és az elektron nyugalmi tömege $m_{0}$ , a fénysebesség vákuumban $c = 2, 9979 \cdot 10^{8}$ m/s. Jelöljük a pozitron impulzusát $\vec{p}$ -vel, a keletkező fotonok impulzusát pedig $\vec{p_{1}}$ -gyel és $\vec{p_{2}}$ -vel!

Az impulzusmegmaradás tétele szerint

\vec{p} = \vec{p_{1}} + \vec{p_{2}}

, az egymásra merőleges fotonimpulzusok nagyságára tehát Pitagorasz tétele szerint fennáll

\begin{matrix} p^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} . \end{matrix}

(1)

A fotonok energiája

E_{1} = p_{1} c

, illetve

E_{2} = p_{2} c

, a

v

sebességgel haladó, tehát

\begin{matrix} p = \frac{m_{0} v}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \end{matrix}

impulzussal rendelkező pozitron teljes (nyugalmi + mozgási) energiája pedig

\begin{matrix} E = \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \sqrt[]{m_{0}^{2} c^{4} + {(p c)}^{2}} . \end{matrix}

(2)

A relativisztikus energiamegmaradás törvénye értelmében a pozitron energiájának és az álló elektron nyugalmi energiájának összege a keletkező fotonok összenergiájával egyezik meg:

\begin{matrix} E + m_{0} c^{2} = E_{1} + E_{2} . \end{matrix}

(3)

Fejezzük ki (1)-ben a fotonok impulzusát az energiájukkal, helyettesítsük be az így kiszámított

p

impulzust (2)-be:

\begin{matrix} E_{1}^{2} + E_{2}^{2} = E^{2} - {(m_{0} c^{2})}^{2}, \end{matrix}

(4)

majd fejezzük ki (3)-ból

E_{2}

-t és helyettesítsük (4)-be:

\begin{matrix} E_{1}^{2} - E_{1} (E + m_{0} c^{2}) + (E + m_{0} c^{2}) m_{0} c^{2} = 0. \end{matrix}

(5)

Ennek a másodfokú egyenletnek akkor van valós megoldása

E_{1}

-re, ha a diszkriminánsa nem negatív:

\begin{matrix} {(E + m_{0} c^{2})}^{2} \geq 4 (E + m_{0} c^{2}) m_{0} c^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} E \geq 3 m_{0} c^{2} . \end{matrix}

(6)

Határesetben

E = 3 m_{0} c^{2}

, ilyenkor

E_{1} = E_{2} = 2 m_{0} c^{2}

. A fotonok impulzusa ekkor

p_{1} = p_{2} = 2 m_{0} c^{2}

nagyságú, és az ábrán látható téglalap négyzet. Ebben az esetben a fotonok a pozitron kezdeti impulzusához képest

45^{\circ}

-os szögben repülnek szét.
A pozitron sebességére vonatkozó korlátot (2)-ből és (6)-ból számíthatjuk ki:

\begin{matrix} v \geq \sqrt[]{\frac{8}{9}} c = 2, 826 \cdot 10^{8} \frac{m}{s} . \end{matrix}