Feladat: 3791. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gyenis András 
Füzet: 2006/január, 49. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb relativitáselmélet, Egyéb elektromos mező, Hosszú egyenes vezető mágneses tere, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/március: 3791. fizika feladat

Választható-e olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben az állandó sebességgel mozgó elektronnyalábnak csak az elektromos vagy csak a mágneses terét észlelhetjük?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy az elektronnyalábnak minden vonatkoztatási rendszerben van elektromos tere, a mágneses tere viszont alkalmasan választott koordináta-rendszerben nulla is lehet.
Tekintsünk egy olyan koordináta-rendszert, amelyben az elektronnyaláb v sebességgel mozog, és a vonalmenti töltéssűrűsége (egységnyi hosszra eső töltése) λ. Vegyük körül a nyalábot képzeletben egy r sugarú, h hosszúságú hengerrel, és alkalmazzuk rá az elektrosztatika Gauss-féle törvényét!

 
 

Az elektromos térerősség (E) a szimmetria miatt nyilván sugár irányú, így a henger palástján áthaladó elektromos fluxus (az elektromos erővonalak száma): 2πrhE. Ez a fluxus a hengerben levő Q=λh töltéssel arányos:
2πrhE=1ε0λh,ahonnanE(r)=12πε0λr.
Ebben a kifejezésben nem szerepel az elektronnyaláb sebessége, csupán a λ mennyiség, ami a (sebességtől független) töltéssel arányos. Emiatt E nem válhat mindenhol nullává, bármekkora sebességgel mozog is a koordináta-rendszerünk a nyalábhoz (avagy a nyaláb a koordináta-rendszerhez) képest.
 
Megjegyzés. A λ töltéssűrűség (töltés/hossz) nagyon nagy sebességű elektronnyaláb esetén függ az elektronok sebességétől, vagyis a koordináta-rendszer választásától. Igaz ugyan, hogy a töltés sebességfüggetlen, de a hosszúság nem az, hanem ‐ az ún. Lorentz-kontrakció jelensége miatt ‐ az elektronok nyugalmi rendszerében mért értékhez képest egy 1-v2c2-es tényezővel módosul. Ez azonban nem változtatja meg a fenti érvelést; ha valamelyik vonatkoztatási rendszerben λ nem nulla, egy másikban sem válhat azzá, és így E sem tűnhet el!
 

Más a helyzet a mágneses mezővel. Ez a nyaláb áramerősségével, vagyis a nyaláb elektronjainak v sebességével arányos, konkrétan (az AmpŠre-törvény szerint)
B(r)=μ02πvλr.
A sebesség a koordináta-rendszertől függ, s választhatunk olyan vonatkoztatási rendszert (a nyaláb ,,nyugalmi rendszerét''), amelyben v=0. Ebben a koordináta-rendszerben a mágneses tér eltűnik.