Kezdőlap


Feladat:	3791. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyenis András
Füzet:	2006/január, 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb relativitáselmélet, Egyéb elektromos mező, Hosszú egyenes vezető mágneses tere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/március: 3791. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy az elektronnyalábnak minden vonatkoztatási rendszerben van elektromos tere, a mágneses tere viszont alkalmasan választott koordináta-rendszerben nulla is lehet.
Tekintsünk egy olyan koordináta-rendszert, amelyben az elektronnyaláb $v$ sebességgel mozog, és a vonalmenti töltéssűrűsége (egységnyi hosszra eső töltése) $λ$ . Vegyük körül a nyalábot képzeletben egy $r$ sugarú, $h$ hosszúságú hengerrel, és alkalmazzuk rá az elektrosztatika Gauss-féle törvényét!

Az elektromos térerősség (

E

) a szimmetria miatt nyilván sugár irányú, így a henger palástján áthaladó elektromos fluxus (az elektromos erővonalak száma):

2 π r h E

. Ez a fluxus a hengerben levő

Q = λ h

töltéssel arányos:

\begin{matrix} 2 π r h E = \frac{1}{ε_{0}} λ h, ahonnan E (r) = \frac{1}{2 π ε_{0}} \cdot \frac{λ}{r} . \end{matrix}

Ebben a kifejezésben nem szerepel az elektronnyaláb sebessége, csupán a

λ

mennyiség, ami a (sebességtől független) töltéssel arányos. Emiatt

E

nem válhat mindenhol nullává, bármekkora sebességgel mozog is a koordináta-rendszerünk a nyalábhoz (avagy a nyaláb a koordináta-rendszerhez) képest.

Megjegyzés. A

λ

töltéssűrűség (töltés/hossz) nagyon nagy sebességű elektronnyaláb esetén függ az elektronok sebességétől, vagyis a koordináta-rendszer választásától. Igaz ugyan, hogy a töltés sebességfüggetlen, de a hosszúság nem az, hanem ‐ az ún. Lorentz-kontrakció jelensége miatt ‐ az elektronok nyugalmi rendszerében mért értékhez képest egy

\sqrt[]{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}

-es tényezővel módosul. Ez azonban nem változtatja meg a fenti érvelést; ha valamelyik vonatkoztatási rendszerben

λ

nem nulla, egy másikban sem válhat azzá, és így

E

sem tűnhet el!

Más a helyzet a mágneses mezővel. Ez a nyaláb áramerősségével, vagyis a nyaláb elektronjainak

v

sebességével arányos, konkrétan (az Ampre-törvény szerint)

\begin{matrix} B (r) = \frac{μ_{0}}{2 π} \cdot \frac{v λ}{r} . \end{matrix}

A sebesség a koordináta-rendszertől függ, s választhatunk olyan vonatkoztatási rendszert (a nyaláb ,,nyugalmi rendszerét''), amelyben

v = 0

. Ebben a koordináta-rendszerben a mágneses tér eltűnik.