Feladat: 3775. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Meszéna Balázs 
Füzet: 2006/január, 45 - 46. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb gördülés (Gördülés), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/február: 3775. fizika feladat

Rögzített, érdes félgömb tetejéről legördül egy tömör labda. Hol csúszik meg? Mekkora a megcsúszás pillanatában a súrlódási erő, ha μ=μ0=0,2; R=1m; r=0,1m; m=0,2kg?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a félgömb középpontját a labda középpontjával összekötő egyenes és a függőleges hajlásszöge α. A labda tömegközéppontjának sebességét v-vel, érintő irányú gyorsulását a-val, a felületek közötti nyomóerőt pedig N-nel jelöljük. A labda megcsúszásának pillanatában a súrlódási erő S=μN, így a mozgásegyenletek:

mgsinα-μN=ma,(1)mv2R+r=mgcosα-N.(2)


A forgómozgásra vonatkozó mozgásegyenlet:
Θar=μNr,(3)
ahol (a labdát homogén tömegeloszlású tömör gömbnek tekintve) Θ=25mr2.
 
 

Amíg a labda nem csúszik meg, a mechanikai energiája megmarad:
12mv2+12Θ(vr)2=mg(R+r)(1-cosα),
ahonnan
v2=107g(R+r)(1-cosα).(4)
(1)-ből és (3)-ból
a=57gsinα,
(2)-ből és (4)-ből pedig
N=mg(177cosα-107).
Ezeket (3)-ba helyettesítve a megcsúszás helyzetére jellemző szög és a súrlódási együttható között a következő egyenletet kapjuk:
2sinα=17μcosα-10μ.
Négyzetre emelés után cosα-ra egy másodfokú egyenletet kapunk:
(289μ2+4)cos2α-340μ2cosα+100μ2-4=0,
melynek számunkra érdekes megoldása (μ megadott számértékénél):
cosα0,87,azazα29.
Érdekes, hogy a megcsúszás szöge csak a súrlódási együtthatótól függ, a labda és a félgömb méretarányától nem.
A súrlódási erő nagysága a megcsúszás pillanatában:
S=mgμ(177cosα-107)0,27N.