Kezdőlap


Feladat:	3775. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Meszéna Balázs
Füzet:	2006/január, 45 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb gördülés (Gördülés), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/február: 3775. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a félgömb középpontját a labda középpontjával összekötő egyenes és a függőleges hajlásszöge $α$ . A labda tömegközéppontjának sebességét $v$ -vel, érintő irányú gyorsulását $a$ -val, a felületek közötti nyomóerőt pedig $N$ -nel jelöljük. A labda megcsúszásának pillanatában a súrlódási erő $S = μ N$ , így a mozgásegyenletek:

\begin{matrix} m g sin α - μ N = m a, & (1) \\ m \frac{v^{2}}{R + r} = m g cos α - N . & (2) \end{matrix}

A forgómozgásra vonatkozó mozgásegyenlet:

\begin{matrix} Θ \frac{a}{r} = μ N r, \end{matrix}

(3)

ahol (a labdát homogén tömegeloszlású tömör gömbnek tekintve)

Θ = \frac{2}{5} m r^{2}

Amíg a labda nem csúszik meg, a mechanikai energiája megmarad:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} Θ {(\frac{v}{r})}^{2} = m g (R + r) (1 - cos α), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v^{2} = \frac{10}{7} g (R + r) (1 - cos α) . \end{matrix}

(4)

(1)-ből és (3)-ból

\begin{matrix} a = \frac{5}{7} g sin α, \end{matrix}

(2)-ből és (4)-ből pedig

\begin{matrix} N = m g (\frac{17}{7} cos α - \frac{10}{7}) . \end{matrix}

Ezeket (3)-ba helyettesítve a megcsúszás helyzetére jellemző szög és a súrlódási együttható között a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 2 sin α = 17 μ cos α - 10 μ . \end{matrix}

Négyzetre emelés után

cos α

-ra egy másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} (289 μ^{2} + 4) cos^{2} α - 340 μ^{2} cos α + 100 μ^{2} - 4 = 0, \end{matrix}

melynek számunkra érdekes megoldása (

μ

megadott számértékénél):

\begin{matrix} cos α \approx 0, 87, azaz α \approx 29^{\circ} . \end{matrix}

Érdekes, hogy a megcsúszás szöge csak a súrlódási együtthatótól függ, a labda és a félgömb méretarányától nem.
A súrlódási erő nagysága a megcsúszás pillanatában:

\begin{matrix} S = m g μ (\frac{17}{7} cos α - \frac{10}{7}) \approx 0, 27 N. \end{matrix}