Feladat: B.3775 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Strenner Balázs 
Füzet: 2006/január, 23. oldal  PDF file
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/december: B.3775

Oldjuk meg az
y3=x3+8x2-6x+8
egyenletet a nemnegatív egészek körében.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel x nem negatív, nyilván teljesül, hogy

x3+8x2-6x+8<(x+3)3=x3+9x2+27x+27.
Az is minden x-re igaz, hogy
(x+1)3<x3+8x2-6x+8,
hiszen a két oldal különbsége
5x2-9x+7,
és 5x2-9x+7 diszkriminánsa negatív (-59), tehát minden értéke pozitív. Mivel y3=x3+8x2-6x+8 köbszám, egy lehetőség maradt, mégpedig
x3+8x2-6x+8=(x+2)3,ésy=x+2.
Ez azt jelenti, hogy
2x2-18x=0,
amelynek két megoldása van: x1=0 és x2=9, és ezekből az y-t is meghatározhatjuk: y1=2 és y2=11.
Az egyenletet tehát két (x;y) nem negatív egész számpár elégíti ki, mégpedig a (0;2) és a (9;11).