Kezdőlap


Feladat:	B.3775	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Strenner Balázs
Füzet:	2006/január, 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: B.3775

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel $x$ nem negatív, nyilván teljesül, hogy

\begin{matrix} x^{3} + 8 x^{2} - 6 x + 8 < {(x + 3)}^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27. \end{matrix}

Az is minden

x

-re igaz, hogy

\begin{matrix} {(x + 1)}^{3} < x^{3} + 8 x^{2} - 6 x + 8, \end{matrix}

hiszen a két oldal különbsége

\begin{matrix} 5 x^{2} - 9 x + 7, \end{matrix}

és

5 x^{2} - 9 x + 7

diszkriminánsa negatív (

- 59

), tehát minden értéke pozitív. Mivel

y^{3} = x^{3} + 8 x^{2} - 6 x + 8

köbszám, egy lehetőség maradt, mégpedig

\begin{matrix} x^{3} + 8 x^{2} - 6 x + 8 = {(x + 2)}^{3}, és y = x + 2. \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy

\begin{matrix} 2 x^{2} - 18 x = 0, \end{matrix}

amelynek két megoldása van:

x_{1} = 0

és

x_{2} = 9

, és ezekből az

y

-t is meghatározhatjuk:

y_{1} = 2

és

y_{2} = 11

.
Az egyenletet tehát két

(x; y)

nem negatív egész számpár elégíti ki, mégpedig a

(0; 2)

és a

(9; 11)