A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A bizonyítás indirekt. Tegyük fel, hogy van 25 különböző, 1000-nél nem nagyobb pozitív egész szám úgy, hogy bármely kettőnek a szorzata négyzetszám, de nem mindegyikük négyzetszám. A négyzetszámok éppen azok a pozitív egészek, amelyek prímtényezős alakjában valamennyi prímtényező kitevője páros. Tekintsük az adott számok közül a nem négyzetszámok egyikét. Ez a szám felírható alakban, ahol (a -k különböző prímek). Ekkor az összes többi szám is felírható alakban, mert máskülönben az -tel vett szorzatukban nem szerepelnének a prímek páros hatványon. Tehát minden szám alakú ( egész, egész). Tudjuk, hogy , , ahonnan (felhasználva, hogy egész, és ): | | Mivel az pozitív egészek mindegyike legfeljebb 22, nem lehet köztük 25 különböző; ez ellentmondás, tehát az összes számnak négyzetszámnak kell lennie.
Megjegyzés. A megoldásból kiderül, hogy már 23 számra is teljesül a feladat állítása. |