Megoldás. A bizonyítás indirekt. Tegyük fel, hogy van 25 különböző, 1000-nél nem nagyobb pozitív egész szám úgy, hogy bármely kettőnek a szorzata négyzetszám, de nem mindegyikük négyzetszám.
A négyzetszámok éppen azok a pozitív egészek, amelyek prímtényezős alakjában valamennyi prímtényező kitevője páros. Tekintsük az adott számok közül a nem négyzetszámok egyikét. Ez a szám felírható $n\cdot x^2$ alakban, ahol $n=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot \text{...}\cdot p_n$ (a $p_i$-k különböző prímek). Ekkor az összes többi szám is felírható $n\cdot x_i^2$ alakban, mert máskülönben az $n\cdot x^2$-tel vett szorzatukban nem szerepelnének a $p_1\mathrm{,}{p}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{p}_n$ prímek páros hatványon. Tehát minden szám $n\cdot x_i^2$ alakú ($n\ge 2$ egész, $x_i\ge 1$ egész). Tudjuk, hogy $n\cdot x_i^2\le 1000$, $x_i\le \sqrt[]{\frac{1000}{n}}$, ahonnan (felhasználva, hogy $x_i$ egész, és $n\ge 2$):