Feladat: B.3765 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ureczky Bálint 
Füzet: 2006/január, 22 - 23. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyzetszámok tulajdonságai, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/november: B.3765

Adott 25 különböző, 1000-nél nem nagyobb pozitív egész szám úgy, hogy bármely kettőnek a szorzata négyzetszám. Bizonyítsuk be, hogy az adott számok is négyzetszámok.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A bizonyítás indirekt. Tegyük fel, hogy van 25 különböző, 1000-nél nem nagyobb pozitív egész szám úgy, hogy bármely kettőnek a szorzata négyzetszám, de nem mindegyikük négyzetszám.
A négyzetszámok éppen azok a pozitív egészek, amelyek prímtényezős alakjában valamennyi prímtényező kitevője páros. Tekintsük az adott számok közül a nem négyzetszámok egyikét. Ez a szám felírható nx2 alakban, ahol n=p1p2p3...pn (a pi-k különböző prímek). Ekkor az összes többi szám is felírható nxi2 alakban, mert máskülönben az nx2-tel vett szorzatukban nem szerepelnének a p1,p2,...,pn prímek páros hatványon. Tehát minden szám nxi2 alakú (n2 egész, xi1 egész). Tudjuk, hogy nxi21000, xi1000n, ahonnan (felhasználva, hogy xi egész, és n2):

xi[1000n][10002]=[105]=22.
Mivel az xi pozitív egészek mindegyike legfeljebb 22, nem lehet köztük 25 különböző; ez ellentmondás, tehát az összes számnak négyzetszámnak kell lennie.
 

Megjegyzés. A megoldásból kiderül, hogy már 23 számra is teljesül a feladat állítása.