Feladat: B.3811 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Berinkei Péter ,  Berringer Dorottya ,  Blázsik Zoltán ,  Bock Lilla ,  Bodzsár Erik ,  Bogár Péter ,  Csaba Ákos ,  Dezső András ,  Erdélyi Viktor ,  Fegyverneki Tamás ,  Filus Adrienn ,  Grósz Dániel ,  Gyenizse Gergő ,  Győrffy Lajos ,  Halász Veronika ,  Kálosi Anna ,  Klimaj Zoltán ,  Knipl Diána ,  Kornis Bence ,  Kovács Péter ,  Lovász László Miklós ,  Mátyás Péter ,  Müller Márk ,  Nagy János ,  Nagy Péter ,  Nagy-Baló András ,  Novák Zsófia ,  Pálovics Róbert ,  Peregi Tamás ,  Rábai András ,  Szakál Péter ,  Szalkai Balázs ,  Tóth László Márton ,  Tóthmérész Lilla ,  Ungi Gergely ,  Zotter Zsuzsanna 
Füzet: 2005/december, 540 - 541. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Négyszög alapú gúlák, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Térfogat, Gömb és részei, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/március: B.3811

Egy négyszög alapú gúla minden éle 1 egység hosszú. Mekkora a gúlába írható gömb sugara?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a gúla alaplapja az ABCD négyszög, ötödik csúcsa E, az E-ből az alaplapra állított merőleges talppontja pedig T. Mivel a gúla minden éle 1 egység hosszú, az ABCD négyszög rombusz. Az ET szakasz merőleges az ABCD síkra, ezért Pitagorasz tétele szerint

AT2=AE2-ET2=1-ET2,BT2=BE2-ET2=1-ET2,CT2=CE2-ET2=1-ET2,DT2=DE2-ET2=1-ET2.
Vagyis AT=BT=CT=DT. Tehát az ABCD rombusz köré T középpontú kör írható, ezért a rombusz négyzet, amelynek T a középpontja.
 
 

Az ABCDE gúla tehát négyzet alapú egyenes gúla. Jelöljük a beírható gömbjének sugarát r-rel, felszínét F-fel, térfogatát pedig V-vel. Ismert, hogy V=Fr3. A keresett gömbsugarat tehát meghatározhatjuk, ha először kiszámítjuk a gúla felszínét és térfogatát.
Mivel ABCD egységnégyzet, azért AT=22, s így Pitagorasz tétele szerint
ET=AE2-AT2=1-12=22.
Ez a gúlának az egységnyi területű ABCD laphoz tartozó testmagassága, tehát a gúla térfogata
V=1223=26.
A gúla oldallapjai egységoldalú szabályos háromszögek, ezért felszíne
F=1+434=1+3.

Tehát a gúlába írható gömb sugara
r=3VF=22(1+3)=6-24.