|
Feladat: |
B.3811 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Berinkei Péter , Berringer Dorottya , Blázsik Zoltán , Bock Lilla , Bodzsár Erik , Bogár Péter , Csaba Ákos , Dezső András , Erdélyi Viktor , Fegyverneki Tamás , Filus Adrienn , Grósz Dániel , Gyenizse Gergő , Győrffy Lajos , Halász Veronika , Kálosi Anna , Klimaj Zoltán , Knipl Diána , Kornis Bence , Kovács Péter , Lovász László Miklós , Mátyás Péter , Müller Márk , Nagy János , Nagy Péter , Nagy-Baló András , Novák Zsófia , Pálovics Róbert , Peregi Tamás , Rábai András , Szakál Péter , Szalkai Balázs , Tóth László Márton , Tóthmérész Lilla , Ungi Gergely , Zotter Zsuzsanna |
Füzet: |
2005/december,
540 - 541. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Négyszög alapú gúlák, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Térfogat, Gömb és részei, Terület, felszín, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2005/március: B.3811 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen a gúla alaplapja az négyszög, ötödik csúcsa , az -ből az alaplapra állított merőleges talppontja pedig . Mivel a gúla minden éle 1 egység hosszú, az négyszög rombusz. Az szakasz merőleges az síkra, ezért Pitagorasz tétele szerint
Vagyis . Tehát az rombusz köré középpontú kör írható, ezért a rombusz négyzet, amelynek a középpontja.
Az gúla tehát négyzet alapú egyenes gúla. Jelöljük a beírható gömbjének sugarát -rel, felszínét -fel, térfogatát pedig -vel. Ismert, hogy . A keresett gömbsugarat tehát meghatározhatjuk, ha először kiszámítjuk a gúla felszínét és térfogatát. Mivel egységnégyzet, azért , s így Pitagorasz tétele szerint Ez a gúlának az egységnyi területű laphoz tartozó testmagassága, tehát a gúla térfogata A gúla oldallapjai egységoldalú szabályos háromszögek, ezért felszíne Tehát a gúlába írható gömb sugara |
|