Kezdőlap


Feladat:	B.3811	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berinkei Péter , Berringer Dorottya , Blázsik Zoltán , Bock Lilla , Bodzsár Erik , Bogár Péter , Csaba Ákos , Dezső András , Erdélyi Viktor , Fegyverneki Tamás , Filus Adrienn , Grósz Dániel , Gyenizse Gergő , Győrffy Lajos , Halász Veronika , Kálosi Anna , Klimaj Zoltán , Knipl Diána , Kornis Bence , Kovács Péter , Lovász László Miklós , Mátyás Péter , Müller Márk , Nagy János , Nagy Péter , Nagy-Baló András , Novák Zsófia , Pálovics Róbert , Peregi Tamás , Rábai András , Szakál Péter , Szalkai Balázs , Tóth László Márton , Tóthmérész Lilla , Ungi Gergely , Zotter Zsuzsanna
Füzet:	2005/december, 540 - 541. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Négyszög alapú gúlák, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Térfogat, Gömb és részei, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/március: B.3811

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a gúla alaplapja az $A B C D$ négyszög, ötödik csúcsa $E$ , az $E$ -ből az alaplapra állított merőleges talppontja pedig $T$ . Mivel a gúla minden éle 1 egység hosszú, az $A B C D$ négyszög rombusz. Az $E T$ szakasz merőleges az $A B C D$ síkra, ezért Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} A T^{2} & = A E^{2} - E T^{2} = 1 - E T^{2}, & B T^{2} & = B E^{2} - E T^{2} = 1 - E T^{2}, \\ C T^{2} & = C E^{2} - E T^{2} = 1 - E T^{2}, & D T^{2} & = D E^{2} - E T^{2} = 1 - E T^{2} . \end{matrix}

Vagyis

A T = B T = C T = D T

. Tehát az

A B C D

rombusz köré

T

középpontú kör írható, ezért a rombusz négyzet, amelynek

T

a középpontja.

A B C D E

gúla tehát négyzet alapú egyenes gúla. Jelöljük a beírható gömbjének sugarát

r

-rel, felszínét

F

-fel, térfogatát pedig

V

-vel. Ismert, hogy

V = F \cdot \frac{r}{3}

. A keresett gömbsugarat tehát meghatározhatjuk, ha először kiszámítjuk a gúla felszínét és térfogatát.
Mivel

A B C D

egységnégyzet, azért

A T = \frac{\sqrt[]{2}}{2}

, s így Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} E T = \sqrt[]{A E^{2} - A T^{2}} = \sqrt[]{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} . \end{matrix}

Ez a gúlának az egységnyi területű

A B C D

laphoz tartozó testmagassága, tehát a gúla térfogata

\begin{matrix} V = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2}}{3} = \frac{\sqrt[]{2}}{6} . \end{matrix}

A gúla oldallapjai egységoldalú szabályos háromszögek, ezért felszíne

\begin{matrix} F = 1 + 4 \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{4} = 1 + \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Tehát a gúlába írható gömb sugara

\begin{matrix} r = \frac{3 V}{F} = \frac{\sqrt[]{2}}{2 (1 + \sqrt[]{3})} = \frac{\sqrt[]{6} - \sqrt[]{2}}{4} . \end{matrix}