Feladat: B.3781 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bitai Tamás ,  Eckert Bernadett ,  Gehér György ,  Halász Veronika ,  Hujter Bálint ,  Kisfaludi-Bak Sándor ,  Kiss-Tóth Christian ,  Kónya Gábor ,  Nagy Csaba ,  Szalóki Dávid 
Füzet: 2005/október, 413 - 414. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számsorok, Trigonometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/december: B.3781

Határozzuk meg a n=1arcctg(2n2) összeg értékét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen αn=arctg(2n2) és βn=α1+α2+...+αn. Ekkor 0<αn<π4 és tgαn=12n2. Feladatunk a βn sorozat határértékének meghatározása.
Először tgβn értékét számoljuk ki. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy tgβn=1-1n+1. Ha n=1, akkor tgβ1=tgα1=12. Tegyük fel, hogy n2 és a tgβn-1=1-1n összefüggést már igazoltuk. Ekkor a tangens függvény addíciós képlete alapján:

tgβn=tg(βn-1+αn)=tgβn-1+tgαn1-tgβn-1tgαn=n-1n+12n21-n-1n12n2=2n2-2n+12n22n3-n+12n3==n(2n2-2n+1)(n+1)(2n2-2n+1)=1-1n+1.
Tehát minden n pozitív egész számra tgβn=1-1n+1. Tudjuk továbbá, hogy 0<β1<π4. Ha n2 és 0<βn-1<π4, akkor 0<βn=βn-1+αn<π2 és tgβn<1 miatt 0<βn<π4 is teljesül. Vagyis a βn sorozat összes eleme 0 és π4 közé esik, továbbá tgβn szigorúan nő és 1-hez tart. Mivel a tangens függvény a (0,π2) intervallumban folytonos függvény, azért a βn sorozat határértéke megegyezik a tgβn sorozat határértékének arkusz tangensével, vagyis arctg1=π4-gyel.
A feladatban szereplő végtelen sor tehát konvergens, összege π4-gyel egyenlő.