Kezdőlap


Feladat:	B.3781	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bitai Tamás , Eckert Bernadett , Gehér György , Halász Veronika , Hujter Bálint , Kisfaludi-Bak Sándor , Kiss-Tóth Christian , Kónya Gábor , Nagy Csaba , Szalóki Dávid
Füzet:	2005/október, 413 - 414. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorok, Trigonometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: B.3781

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $α_{n} = arctg (2 n^{2})$ és $β_{n} = α_{1} + α_{2} + ... + α_{n}$ . Ekkor $0 < α_{n} < \frac{π}{4}$ és $tg α_{n} = \frac{1}{2 n^{2}}$ . Feladatunk a $β_{n}$ sorozat határértékének meghatározása.
Először $tg β_{n}$ értékét számoljuk ki. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy $tg β_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ . Ha $n = 1$ , akkor $tg β_{1} = tg α_{1} = \frac{1}{2}$ . Tegyük fel, hogy $n \geq 2$ és a $tg β_{n - 1} = 1 - \frac{1}{n}$ összefüggést már igazoltuk. Ekkor a tangens függvény addíciós képlete alapján:

\begin{matrix} tg β_{n} & = tg (β_{n - 1} + α_{n}) = \frac{tg β_{n - 1} + tg α_{n}}{1 - tg β_{n - 1} tg α_{n}} = \frac{\frac{n - 1}{n} + \frac{1}{2 n^{2}}}{1 - \frac{n - 1}{n} \cdot \frac{1}{2 n^{2}}} = \frac{\frac{2 n^{2} - 2 n + 1}{2 n^{2}}}{\frac{2 n^{3} - n + 1}{2 n^{3}}} = \\ = \frac{n (2 n^{2} - 2 n + 1)}{(n + 1) (2 n^{2} - 2 n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} . \end{matrix}

Tehát minden

n

pozitív egész számra

tg β_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}

. Tudjuk továbbá, hogy

0 < β_{1} < \frac{π}{4}

. Ha

n \geq 2

és

0 < β_{n - 1} < \frac{π}{4}

, akkor

0 < β_{n} = β_{n - 1} + α_{n} < \frac{π}{2}

és

tg β_{n} < 1

miatt

0 < β_{n} < \frac{π}{4}

is teljesül. Vagyis a

β_{n}

sorozat összes eleme 0 és

\frac{π}{4}

közé esik, továbbá

tg β_{n}

szigorúan nő és 1-hez tart. Mivel a tangens függvény a

(0, \frac{π}{2})

intervallumban folytonos függvény, azért a

β_{n}

sorozat határértéke megegyezik a

tg β_{n}

sorozat határértékének arkusz tangensével, vagyis

arctg 1 = \frac{π}{4}

-gyel.
A feladatban szereplő végtelen sor tehát konvergens, összege

\frac{π}{4}

-gyel egyenlő.