Feladat: B.3777 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Berringer Dorottya ,  Birkner Tamás ,  Bodzsár Erik ,  Bogár Péter ,  Cseh Ágnes ,  Csóka Győző ,  Eisenberger András ,  Estélyi István ,  Gehér György ,  Gyenizse Gergő ,  Halász Veronika ,  Hartmann Zoltán ,  Horváth Zoltán ,  Kisfaludi-Bak Sándor ,  Kiss-Tóth Christian ,  Kómár Péter ,  Korándi Dániel ,  Kovács Péter ,  Kunovszki Péter ,  Lorántfy Bettina ,  Lovász László Miklós ,  Miklós Rozália ,  Nagy János ,  Nagy Péter ,  Pálovics Róbert ,  Pásztor Attila ,  Pesti Veronika ,  Petényi Franciska ,  Poronyi Balázs ,  Sommer Dániel ,  Strenner Balázs ,  Sümegi Károly ,  Szalkai Balázs ,  Szegvári Gábor ,  Szirmai Péter ,  Tossenberger Anna ,  Tóth László Márton ,  Udvari Balázs ,  Varjas András 
Füzet: 2005/október, 409 - 410. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/december: B.3777

Az ABC egyenlő szárú háromszög szárszöge BAC=α. A BC alapot B-től C felé haladva n egyenlő részre osztó pontok D1,D2,...,Dn-1. Az AB szárat 1:(n-1) arányban osztó pont E. Igazoljuk, hogy
AD1E+AD2E+...+ADn-1E=α2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen az AC szakaszt 1:(n-1) arányban osztó pont F. A bizonyítandó állítás ekvivalens azzal, hogy

2(AD1E+AD2E+...+ADn-1E)=α.(1)
Mivel az egyenlő szárú háromszög szimmetriája miatt ADkE=ADn-kF, továbbá ADkE+ADkF=EDkF (1. ábra), azért az (1) bal oldalán álló összeg
ED1F+ED2F+...+EDn-1F.(2)
Megmutatjuk, hogy a (2) összeg tetszőleges ABC háromszögben egyenlő a BAC szöggel, amennyiben az E, F, illetve a Di pontok a megfelelő arányban osztják a háromszög oldalait.
 

 
1. ábra
 

Vegyük észre, hogy a Dk-1DkFE négyszögek (1kn-1, D0=B) parallelogrammák, hiszen a párhuzamos szelők tételének a szelő szakaszokra vonatkozó állítása szerint Dk-1Dk párhuzamos és egyenlő EF-fel (2. ábra). Ezekben a parallelogrammákban
EDkF=Dk-1EDk,
vagyis a (2)-ben szereplő összeg a közös E csúcsú Dk-1EDk szögek összege: éppen D0EDn-1=BEDn-1 (3. ábra). Miután pedig a párhuzamos szelők tétele szerint EDn-1AC, azért BEDn-1=BAC, és ezt akartuk bizonyítani.
 

 
2. ábra
 


 
3. ábra
 

 
Megjegyzés. A feladat a B. 3764. feladat (kitűzve a 2004. novemberi számban) általánosítása.