Kezdőlap


Feladat:	B.3777	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berringer Dorottya , Birkner Tamás , Bodzsár Erik , Bogár Péter , Cseh Ágnes , Csóka Győző , Eisenberger András , Estélyi István , Gehér György , Gyenizse Gergő , Halász Veronika , Hartmann Zoltán , Horváth Zoltán , Kisfaludi-Bak Sándor , Kiss-Tóth Christian , Kómár Péter , Korándi Dániel , Kovács Péter , Kunovszki Péter , Lorántfy Bettina , Lovász László Miklós , Miklós Rozália , Nagy János , Nagy Péter , Pálovics Róbert , Pásztor Attila , Pesti Veronika , Petényi Franciska , Poronyi Balázs , Sommer Dániel , Strenner Balázs , Sümegi Károly , Szalkai Balázs , Szegvári Gábor , Szirmai Péter , Tossenberger Anna , Tóth László Márton , Udvari Balázs , Varjas András
Füzet:	2005/október, 409 - 410. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2004/december: B.3777

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen az $A C$ szakaszt $1 : (n - 1)$ arányban osztó pont $F$ . A bizonyítandó állítás ekvivalens azzal, hogy

\begin{matrix} 2 (A D_{1} E ∢ + A D_{2} E ∢ + ... + A D_{n - 1} E ∢) = α . \end{matrix}

(1)

Mivel az egyenlő szárú háromszög szimmetriája miatt

A D_{k} E ∢ = A D_{n - k} F ∢

, továbbá

A D_{k} E ∢ + A D_{k} F ∢ = E D_{k} F ∢

(1. ábra), azért az (1) bal oldalán álló összeg

\begin{matrix} E D_{1} F ∢ + E D_{2} F ∢ + ... + E D_{n - 1} F ∢ . \end{matrix}

(2)

Megmutatjuk, hogy a (2) összeg tetszőleges

A B C

háromszögben egyenlő a

B A C

szöggel, amennyiben az

E

F

, illetve a

D_{i}

pontok a megfelelő arányban osztják a háromszög oldalait.

1. ábra

Vegyük észre, hogy a

D_{k - 1} D_{k} F E

négyszögek (

1 \leq k \leq n - 1

D_{0} = B

) parallelogrammák, hiszen a párhuzamos szelők tételének a szelő szakaszokra vonatkozó állítása szerint

D_{k - 1} D_{k}

párhuzamos és egyenlő

E F

-fel (2. ábra). Ezekben a parallelogrammákban

\begin{matrix} E D_{k} F ∢ = D_{k - 1} E D_{k} ∢, \end{matrix}

vagyis a (2)-ben szereplő összeg a közös

E

csúcsú

D_{k - 1} E D_{k}

szögek összege: éppen

D_{0} E D_{n - 1} ∢ = B E D_{n - 1} ∢

(3. ábra). Miután pedig a párhuzamos szelők tétele szerint

E D_{n - 1} ∥ A C

, azért

B E D_{n - 1} ∢ = B A C ∢

, és ezt akartuk bizonyítani.

2. ábra

3. ábra

Megjegyzés. A feladat a B. 3764. feladat (kitűzve a 2004. novemberi számban) általánosítása.