Feladat: B.3671 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ablonczy Dávid ,  Antal László ,  Bednay Dezső ,  Bekényi Balázs ,  Békéssy Herman András ,  Birkner Tamás ,  Csörge Péter ,  Czank Tamás ,  Dobos Gábor ,  Estélyi István ,  Gehér György ,  Gidófalvy Kitti ,  Haszpra Tímea ,  Hegyháti Máté ,  Hidasi Balázs ,  Hujter Bálint ,  Jankó Zsuzsanna ,  Károlyi Márton ,  Kiss Katinka ,  Kiss-Tóth Christian ,  Komáromy Dani ,  Kovács Péter ,  Kovács Péter ,  Kurgyis Zsuzsanna ,  Magda Gábor ,  Nagy-Baló András ,  Nikházy László ,  Pálikás Csaba ,  Poronyi Balázs ,  Rácz Miklós ,  Sándor Ágnes Petra ,  Strenner Balázs ,  Szabó Botond ,  Szalóki Dávid ,  Udvari Balázs ,  Varga Viktor ,  Vaskó Richárd 
Füzet: 2005/március, 149 - 150. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú egyenletek, Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2003/október: B.3671

Oldjuk meg az (x2+y)(x+y2)=(x-y)3 egyenletet az egész számok körében.

Megoldás. Bontsuk fel a kifejezésben szereplő zárójeleket:
x3+y3+xy+x2y2=x3-3x2y+3xy2-y3.
Tovább alakítva:
x2y2+xy+2y3+3x2y-3xy2=0,majdy(2y2+(x2-3x)y+3x2+x)=0
adódik.
Ha y=0, akkor x tetszőleges egész szám lehet, az (x;0) számpár megoldás.
Ha y0, akkor oszthatunk vele, így y-ban másodfokú polinomot kapunk:
2y2+(x2-3x)y+3x2+x=0.
Erre felírva a másodfokú egyenlet megoldóképletét:
y1,2=-(x2-3x)±(x2-3x)2-24x2-8x4.
A négyzetgyök alatt szereplő kifejezés:
x4+9x2-6x3-24x2-8x=x(x3-6x2-15x-8)=x(x-8)(x+1)2,
amiből
y1,2=-x2+3x±(x+1)x(x-8)4.
A négyzetgyök értéke racionális (ellenkező esetben nem kaphatnánk egész megoldást y-ra), és mivel x(x-8) egész szám, azért négyzetszám kell legyen.
x(x-8)=d2, átalakítva x2-8x-d2=0, ebből
x1,2=8±64+4d22=4±42+d2.

42+d2 négyzetszám. Triviális megoldás a d=0, egyébként keressük azokat a Pitagoraszi számhármasokat, amelyekben az egyik szám a 4. Ilyen egy van: a 3, 4, 5. Eszerint d=0 vagy d2=9.
Ha d=0, akkor x=0 vagy x=8, ha d2=9, akkor x=9 vagy x=-1.
Ezekhez az értékekhez tartozó y értékek:
x=0esetény=0;x=8esetény=-10;x=9esetény=-6  vagy  y=-21;x=-1esetény=-1.
Ezeken kívül találtuk még az y=0, x tetszőleges számpár megoldásokat.